Chủ đề này có 3 trả lời

[pndpnd]

Tìm hàm $f : R\rightarrow R$

$f(x^3-y^3)=x^2f(x)-y^2f(y)$

[chardhdmovies]

đề bài:tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

           thỏa $f(x^3-y^3)=x^2f(x)-y^2f(y)$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$        $(1)$

bài làm:

gọi $P(u,v)$ là việc thay đổi $x$ bởi $u$ và $y$ bởi $v$

$P(0,0)\rightarrow f(0)=0$

$P(x,0)\rightarrow f(x^3)=x^2f(x)\overset{(1)}{\Rightarrow }f(x^3-y^3)=f(x^3)-f(y^3)\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$             $(2)$

$P(0,y)\overset{(2)}{\rightarrow}f(-y)=f(0)-f(y)\Rightarrow f(-y)=-f(y) \overset{(2)}{\Rightarrow }f(x+y)=f(x)+f(y)$

đây là hàm cộng tính nên $f(kx)=kf(x)$ với $x\in \mathbb{R},k\in \mathbb{Q}$

do đó ta có các điều kiện sau $\left\{\begin{matrix} f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)\\f(x^3)=x^2f(x) \\f(x+y)=f(x)+f(y) \\f(kx)= kf(x) \end{matrix}\right.$

$P\left ( (x-1)^3,(x+1)^3 \right )\rightarrow f\left ( (x-1)^3+(x+1)^3 \right )=(x-1)^2f(x-1)+(x+1)^2f(x+1)=(x-1)^2\left [ f(x)-f(1) \right ]+(x+1)^2\left [ f(x)+f(1) \right ]=(2x^2+2)f(x)+4xf(1)$           $(*)$

$P\left ( (x-1)^3,(x+1)^3 \right )\rightarrow f\left ( (x-1)^3+(x+1)^3 \right )=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)$                                         

                                                                                                $=2x^2f(x)+6f(x)$                                        $(**)$

từ $(*)$ và $(**)$  thì ta có $2x^2f(x)+6f(x)=(2x^2+2)f(x)+4xf(1)\Rightarrow f(x)=f(1)$

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 17-11-2014 - 20:30

[pndpnd]

đề bài:tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

           thỏa $f(x^3-y^3)=x^2f(x)-y^2f(y)$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$        $(1)$

bài làm:

gọi $P(u,v)$ là việc thay đổi $x$ bởi $u$ và $y$ bởi $v$

$P(0,0)\rightarrow f(0)=0$

$P(x,0)\rightarrow f(x^3)=x^2f(x)\overset{(1)}{\Rightarrow }f(x^3-y^3)=f(x^3)-f(y^3)\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$             $(2)$

$P(0,y)\overset{(2)}{\rightarrow}f(-y)=f(0)-f(y)\Rightarrow f(-y)=-f(y) \overset{(2)}{\Rightarrow }f(x+y)=f(x)+f(y)$

đây là hàm cộng tính nên $f(kx)=kf(x)$ với $x\in \mathbb{R},k\in \mathbb{Q}$

do đó ta có các điều kiện sau $\left\{\begin{matrix} f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)\\f(x^3)=x^2f(x) \\f(x+y)=f(x)+f(y) \\f(kx)= kf(x) \end{matrix}\right.$

$P\left ( (x-1)^3,(x+1)^3 \right )\rightarrow f\left ( (x-1)^3+(x+1)^3 \right )=(x-1)^2f(x-1)+(x+1)^2f(x+1)=(x-1)^2\left [ f(x)-f(1) \right ]+(x+1)^2\left [ f(x)+f(1) \right ]=(2x^2+2)f(x)+4xf(1)$           $(*)$

$P\left ( (x-1)^3,(x+1)^3 \right )\rightarrow f\left ( (x-1)^3+(x+1)^3 \right )=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)$                                         

                                                                                                $=2x^2f(x)+6f(x)$                                        $(**)$

từ $(*)$ và $(**)$  thì ta có $2x^2f(x)+6f(x)=(2x^2+2)f(x)+4xf(1)\Rightarrow f(x)=f(1)$

 

NTP

f(x)=f(1) thì không tìm được f(1) để có đáp số cụ thể à bạn.

[Near Ryuzaki]

f(x)=f(1) thì không tìm được f(1) để có đáp số cụ thể à bạn.

Lời giải trên sử dụng phương pháp tính bằng 2 cách
Đáp án của bài toán là $f(x)=f(1).x=ax$