Chủ đề này có 3 trả lời

[Dung Du Duong]

Tìm GTLN của biểu thức :

$P = \frac{x}{1+x^{2}} + \frac{y}{1+y^{2}} + \frac{z}{1+z^{2}}$

Trong đó x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z = 1   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 22-11-2014 - 19:30

[chardhdmovies]

 

Tìm GTLN của biểu thức :

$P = \frac{x}{1+x^{2}} + \frac{y}{1+y^{2}} + \frac{z}{1+z^{2}}$

Trong đó x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z = 1   

 

trong $3$ số $x,y,z$ luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bé hơn $\frac{1}{3}$ giả sử là $y,z$ thì $\left ( y-\frac{1}{3} \right )\left ( z-\frac{1}{3} \right )\geq 0$

$\Rightarrow y^2+z^2\leq \frac{1}{9}+\left ( y+z-\frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}+\left ( \frac{2}{3}-x \right )^2$

ta chứng minh $P\leq \frac{9}{10}\Leftrightarrow \frac{(y-1)^2}{y^2+1}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1}\geq \frac{1}{5}+\frac{2x}{x^2+1}$

ta có $\frac{(y-1)^2}{y^2+1}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1}\geq \frac{(y+z-2)^2}{y^2+z^2+2}\geq \frac{(x+1)^2}{\frac{1}{9}+\left ( \frac{2}{3}-x \right )^2+2}=\frac{9(x+1)^2}{9x^2-12x+23}$

do đó ta cần chứng minh $\frac{9(1+x)^2}{9x^2-12x+23}\geq \frac{x^2+10x+1}{5(1+x)^2}\Leftrightarrow (3x-1)^2(2x^2+2x+11)\geq 0$

điều này luôn đúng nên có đpcm

Spoiler

cách giải trên trong cuốn cauchy-schwarz

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 22-11-2014 - 20:00

[binhnhaukhong]

Cái này phương pháp đánh giá đại diện cũng hay bạn à

[Algebra]

 

Tìm GTLN của biểu thức :

$P = \frac{x}{1+x^{2}} + \frac{y}{1+y^{2}} + \frac{z}{1+z^{2}}$

Trong đó x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z = 1   

 

Ta có $x^{2}+1=x^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}x+\frac{8}{9}\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{9x}{2(3x+4)}$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}(\sum \frac{3x}{3x+4})=\frac{3}{2}(3-\sum \frac{4}{3x+4})\leq \frac{3}{2}(3-\frac{4.9}{3(x+y+z)+12}=\frac{9}{10}$