4 replies to this topic

[phatthemkem]

Cho dãy $a_n$ với $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n}^{2}}{2013} \end{matrix}\right.,n\geq 1$

Tính $\lim_{x\rightarrow \infty }S_n$ với $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}$

[phatthemkem]

Cho dãy $a_n$ với $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n}^{2}}{2013} \end{matrix}\right.,n\geq 1$

Tính $\lim_{x\rightarrow \infty }S_n$ với $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}$

Đăng lời giải cho mọi người tham khảo nha (Mới giải xong      )

Dễ thấy $(a_n)$ tăng nên giả sử $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_n=a>0,5$

Chuyển về giới hạn $a=a+\frac{a^2}{2013}\Leftrightarrow a=0$, mâu thuẫn

Suy ra $\lim_{x\rightarrow +\infty }a_n=+\infty$

Từ giả thiết thì $a_n\neq a_{n+1}$ nên $a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n}^{2}}{2013}\Leftrightarrow 2013=\frac{a_n^2}{a_{n+1}-a_n}$

Khi đó: $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+\frac{a_i^2}{a_{i+1}-a_i}}=\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}} \right )=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}$

Như vậy $\lim_{x\rightarrow \infty }S_n=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}} \right )=\frac{1}{a_1}=2$

Edited by phatthemkem, 24-11-2014 - 05:55.

[Hoang Tung 126]

Đăng lời giải cho mọi người tham khảo nha (Mới giải xong      )

Dễ thấy $(a_n)$ tăng nên $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_n=+\infty$

Từ giả thiết thì $a_n\neq a_{n+1}$ nên $a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n}^{2}}{2013}\Leftrightarrow 2013=\frac{a_n^2}{a_{n+1}-a_n}$

Khi đó: $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+\frac{a_i^2}{a_{i+1}-a_i}}=\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}} \right )=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}$

Như vậy $\lim_{x\rightarrow \infty }S_n=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}} \right )=\frac{1}{a_1}=2$

Bạn cần Cm thêm rằng dãy này không bị chặn trên nữa

[phatthemkem]

Bạn cần Cm thêm rằng dãy này không bị chặn trên nữa

Chứng minh được $(a_n)$ tăng, sau đó giả sử bị chặn trên, chuyển về giới hạn là suy ra mâu thuẫn mà.   

Dù sao cũng cảm thank bạn, tui sẽ sửa lại cho đẹp bài.

Edited by phatthemkem, 24-11-2014 - 05:51.

[Hoang Tung 126]

Chứng minh được $(a_n)$ tăng, sau đó giả sử bị chặn trên, chuyển về giới hạn là suy ra mâu thuẫn mà.   

Dù sao cũng cảm thank bạn, tui sẽ sửa lại cho đẹp bài.

Làm thế để cho lời giải gọn hơn