Chủ đề này có 1 trả lời

[Livetolove220797]

 Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=1$.

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 $P=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$.

 

 Liệu rằng Giá trị lớn nhất có phải là $\frac{4}{27}$?

 Mình tính ra thì không thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Livetolove220797: 28-11-2014 - 22:38

[dogsteven]

Đề là $a,b,c$ không âm mới đúng.
Bài toán tổng quát: Cho $a,b,c$ là cac số không âm. Ta luôn có:
$$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$$
Chứng minh:
Đặt $x=a+t, y=b+t, z=c+t$ với $t\geqslant -c=-\text{min{a,b,c}}$
$$f(t)=F(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^2x+xyz-\frac{4}{27}(x+y+z)^3$$
$$f'(t)=\frac{1}{3}(xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2) \leqslant 0$$
$$\Rightarrow f(t) \leqslant f(-c)=F(a-c,b-c,0)$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh khi $c=0$ hay là chứng minh: $a^2b\leqslant \frac{4}{27}(a+b)^3$
Điều này hoàn toán đúng theo AM-GM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=2b, c=0$ và các hoán vị tương ứng.
Trở lại bài toán:
$$a^2b+b^2c+c^2a\leqslant a^2b+b^2c+c^2a+abc \leqslant \frac{4}{27}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 29-11-2014 - 15:47