Chủ đề này có 4 trả lời

[HungNT]

Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ có chu vi bằng 4. C/m

$27\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \right )\geq 208$

[dogsteven]

Ta có $a<b+c=4-a \Leftrightarrow a<2$, đặt $2t=b+c<4\Leftrightarrow t<2$. Khi đó:

$$b^2+c^2+abc-\frac{(b+c)^2}{2}-a\frac{(b+c)^2}{4}=\frac{(2-a)(b-c)^2}{4} \geqslant 0$$

$$\Leftrightarrow 27(a^2+b^2+c^2+abc) \geqslant 27(a^2+2t^2+at^2)=2(3t-4)^2(7-3t)+208 \geqslant 208$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 29-11-2014 - 13:36

[Algebra]

Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ có chu vi bằng 4. C/m

$27\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \right )\geq 208$

 

 $BDT\Leftrightarrow 27(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)=27(a+b+c)^{2}-27.2(ab+bc+ca)+27abc\geq 208$

$\Leftrightarrow abc+\frac{224}{27}\geq 2(ab+bc+ca)$  (@@)

 

Mặt khác theo bđt Schur: 

$(a+b+c)^{3}+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 4^{3}+9abc\geq 4^{2}(ab+bc+ca)\Leftrightarrow abc+\frac{64}{9}\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ca)$(1)

 

Lại có $\frac{2}{9}(ab+bc+ca)\leq \frac{2}{27}(a+b+c)^{2}= \frac{32}{27}$(2)

 

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được (@@) (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Algebra: 29-11-2014 - 14:01

[nguyenhongsonk612]

Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ có chu vi bằng 4. C/m

$27\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \right )\geq 208$

Một cách khác sử dụng pp hàm số bậc nhất

Lời giải:

Theo BĐT tam giác ta có $a <b+c=4-a$$\Leftrightarrow a< 2$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow (27a-54)bc+54a^2-216a+224\geq 0\Leftrightarrow (27a-54)t+54a^2-216a+224\geq 0$  ($t=bc$)

Đặt  $f(t)=(27a-54)t+54a^2-216a+224$

Theo BĐT $AM-GM$ ta có $t=bc\leq \frac{(4-a)^2}{4}$

Do $a<2$ nên $27a-54 <0$ $\Rightarrow$ Hàm số $f(t )$ nghịch biến 

Vì vậy để C/m $f(t) \geq 0$ thì ta cần C/m $f\begin{pmatrix} \frac{(4-a)^2}{4} \end{pmatrix}\geq 0$

Thật vậy ta có

$f\begin{pmatrix} \frac{(4-a)^2}{4} \end{pmatrix}=27\begin{pmatrix} a-\frac{4}{3} \end{pmatrix}^2\begin{pmatrix} a+\frac{2}{3} \end{pmatrix}\geq 0$

Vậy $f(t) \geq 0$, BĐT được C/m. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{4}{3}$

[kanashini]

$\sqrt[3]{(2-a)(2-b)(2-c)}\leq \frac{6-a-b-c}{3}=\frac{2}{3}$

 

$\Leftrightarrow (2-a)(2-b)(2-c) \leq \frac{8}{27}$

 

$\Leftrightarrow 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\leq \frac{8}{27}$

 

$\Leftrightarrow -54(ab+bc+ca)+27abc\geq -224$

 

$\Leftrightarrow -54(ab+bc+ca)+27(a+b+c)^2+27abc\geq 208$

 

$\Leftrightarrow 27(a^2+b^2+c^2+abc)\geq 208$