Chủ đề này có 3 trả lời

[chardhdmovies]

Tìm nghiệm nguyên phương trình $x_1^4+x_2^4+...+x_{15}^4=1215$

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 30-11-2014 - 10:12

[lahantaithe99]

Tìm nghiệm nguyên phương trình $x_1^4+x_2^4+...+x_{15}^4=1215$

 

NTP

 

Giả sử bộ $(x_1,x_2,...,x_{15})$ là bộ số không âm

 

Dựa vào tính chất $x^4$ chia $16$ có dư $0,1$ và $1215\equiv 15$ (mod $16$)

 

$\Rightarrow (x_1,x_2,...,x_{15})$ lẻ ( chia $16$ dư $1$)

 

Giả sử $x_1\leq x_2\leq ...\leq x_{15}$

 

Ta có $1215>x_{15}^4$ suy ra $x_{15}\leq 5$. Mà lẻ nên có thể nhận giá trị $1,3,5$

 

Nếu $x_{15}=1$: vô lý

 

Nếu $x_{15}=3$ ta có ngay $x_1=,...=x_{15}=3$ thỏa mãn yc bài toán

 

Nếu $x_{15}=5$ suy ra $x_1^4+....+x_{14}^4=590$

 

Có $x_{14}^4<590$ nên $x_{14}<5$ nên $x_{14}=3$ ($x_{14}=1$ vô lí)

 

Tương tự có $x_{14}=x_{13}=...=x_8=3$

 

Do đó $x_1^4+...+x_7^4=23$

 

Mà $(x_1,...,x_7)\in (1,3)$ nên vô lí

 

Do đó $(x_1,x_2,...,x_15)=(\pm 3,\pm 3,....,\pm 3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 30-11-2014 - 15:22

[hoctrocuaZel]

Tìm nghiệm nguyên phương trình $x_1^4+x_2^4+...+x_{15}^4=1215$

 

NTP

Chứng minh cực kì dễ dàng: $k^4\equiv 0;1(mod16)\rightarrow VT=\sum x_1^4\equiv 0;1;2;;4;..;15(mod16)$

Mà VP chia cho $16$ dư 15 nên các số này lần lượt là các số lẻ.

Khi đó: $x_1=x_2=...=x_{15}=3$

[chardhdmovies]

Chứng minh cực kì dễ dàng: $k^4\equiv 0;1(mod16)\rightarrow VT=\sum x_1^4\equiv 0;1;2;;4;..;15(mod16)$

Mà VP chia cho $16$ dư 15 nên các số này lần lượt là các số lẻ.

Khi đó: $x_1=x_2=...=x_{15}=3$

mới được là số lẻ thôi em

còn chưa thể kết luận được

 

NTP