Chủ đề này có 1 trả lời

[hoamuongbien]

Cho các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=6$
CMR:
$\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}$ $\geq$ $1$

[kanashini]

BĐT $\Leftrightarrow \dfrac{2a}{b^2+2}+\dfrac{2b}{c^2+2}+\dfrac{2c}{a^2+2} \ge 2$

 

Ta có: $\dfrac{2a}{b^2+2}=\dfrac{a(b^2+2)-ab^2}{b^2+2}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+2}$

 

$b^2+2=\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+2\ge 3b\sqrt[3]{\dfrac{b}{2}}$

 

$\Rightarrow \dfrac{ab^2}{b^2+2}\le \dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}.a\sqrt[3]{b^2}$

 

$\Rightarrow \sum \dfrac{2a}{b^2+2} \ge \sum a-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}.\sum a\sqrt[3]{b^2}$

 

Mà $\sum a\sqrt[3]{b^2}\le \sum \dfrac{a}{\sqrt[3]{2}}.\dfrac{2b+2}{3}$

 

$\Rightarrow \sum \dfrac{2a}{b^2+2} \ge \sum a-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}.\sum \dfrac{a}{\sqrt[3]{2}}.\dfrac{2b+2}{3}=\sum a-\dfrac{2}{9}(\sum a+\sum ab)=\dfrac{7}{9}\sum a-\dfrac{2}{9}\sum ab\ge 2$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

p.s:Mọi người xem lại hộ với, không biết có sai chỗ nào không:((