Chủ đề này có 1 trả lời

[chardhdmovies]

cho các số $0\leq a\leq b\leq c\leq d$ và $x,y,z,t\in \left [ 0,\frac{1}{2} \right ]$ thỏa $a+b+c+d=x+y+z+t=1$

Chứng minh rằng $ax+by+cz+dt\geq 54abcd$

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 10-12-2014 - 13:13

[chardhdmovies]

cho các số $0\leq a\leq b\leq c\leq d$ và $x,y,z,t\in \left [ 0,\frac{1}{2} \right ]$ thỏa $a+b+c+d=x+y+z+t=1$

Chứng minh rằng $ax+by+cz+dt\geq 54abcd$

NTP

ta có $ax+by+cz+dt\geq ax+b(y+z+t)=b-(b-a)x\geq b-(b-a)\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(a+b)\geq \sqrt{ab}$

mặc khác $1=a+b+2.\frac{c}{2}+2.\frac{d}{2}\geq 6\sqrt[6]{\frac{abc^2d^2}{4^2}}\Rightarrow \sqrt{ab}\geq 54abcd$

do đó $ax+by+cz+dt\geq \sqrt{ab}\geq 54abcd$

vậy $\boxed{ax+by+cz+dt\geq 54abcd\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c=d\\x=y+z+t=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.}$

 

NTP