Cho a,b,c >0 CMR:
a. $\frac{a+b}{2}\frac{a^2+b^2}{2}\frac{a^3+b^3}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}$
b. $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} \leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Cho a,b,c >0 CMR:
a. $\frac{a+b}{2}\frac{a^2+b^2}{2}\frac{a^3+b^3}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}$
b. $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} \leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
a. Hướng dẫn:
chứng minh $\dfrac{a+b}{2}.\dfrac{a^2+b^2}{2} \le \dfrac{a^3+b^3}{2}$ .
$\rightarrow \dfrac{a+b}{2}.\dfrac{a^2+b^2}{2}.\dfrac{a^3+b^3}{2} \le (\dfrac{a^3+b^3}{2})^2 \le \dfrac{a^6+b^6}{2}$
Cho a,b,c >0 CMR:
b. $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} \leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}\leqslant a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow (\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}-c^2)+(\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}-a^2)+(\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}-b^2)\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{ca(a-c)+bc(b-c)}{a+b}+\frac{ab(b-a)+ac(c-a)}{b+c}+\frac{bc(c-b)+ab(a-b)}{c+a}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{-bc(b-c)^2}{(a+b)(c+a)}+\frac{-ca(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{-ab(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\leqslant 0$*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 members, 1 guests, 0 anonymous users