Cho $a,b \in [0;1]$ và $a+b+c= \frac{3}{2} $. Chứng minh rằng $a^2 + b^2 +c^2 \leq \frac{5}{4} $
Chứng minh rằng $a^2 + b^2 +c^2 \leq \frac{5}{4} $
#1
Đã gửi 07-12-2014 - 20:57
- nguyenhongsonk612 và chardhdmovies thích
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
#2
Đã gửi 07-12-2014 - 21:16
Giả sử $1\geqslant a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$
$$a^2+b^2+c^2=(a-b)a+(b-c)(a+b)+c(a+b+c)\leqslant a-b+\frac{3}{2}(b-c)+\frac{3}{2}c=\frac{a+a+b}{2} \leqslant \frac{5}{4}$$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)\sim \left(1,\frac{1}{2},0 \right)$
- Nguyen Huy Hoang, khanghaxuan, chardhdmovies và 1 người khác yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 08-12-2014 - 07:39
Cho $a,b,c \in [0;1]$ và $a+b+c= \frac{3}{2} $. Chứng minh rằng $a^2 + b^2 +c^2 \leq \frac{5}{4} $
Có thể làm theo cách sau:
Lời giải:
Đặt $x=a-\frac{1}{2};y=b-\frac{1}{2};z=c-\frac{1}{2}\Rightarrow x+y+z=0$
$\Rightarrow$ Trong $3$ số $x,y,z$, tồn tại ít nhất $2$ số cùng dấu. Giả sử $2$ số đó là $x,y$ $\Rightarrow xy\geq 0$
Với $a,b,c \in [0;1]\Leftrightarrow x,y,z \in \begin{bmatrix} \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
Khi đó ta có nhận xét sau $x^2\leq \frac{|x|}{2}$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2+\frac{3}{4}\leq \frac{|x|+|y|+|z|}{2}+\frac{3}{4}=\frac{|x+y|+|z|}{2}+\frac{3}{4}=|z|+\frac{3}{4}\leq \frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$ (Đpcm)
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=0;b=\frac{1}{2};c=1$ và các hoán vị
- Nguyen Huy Hoang yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 08-12-2014 - 14:13
Thay $a=\frac{3}{2}-b-c$ ta được:
$$a^2+b^2+c^2=2b^2+2c^2-3b-3c+2bc+\frac{9}{4}\leqslant 2(b+c)^2-3(b+c)+\frac{9}{4}=(b+c-1)(2b+2c-1)+\frac{5}{4}$$
Để $a^2+b^2+c^2 \leqslant \frac{5}{4}$ ta cần có $\frac{1}{2} \leqslant b+c\leqslant 1$ nữa là đủ. Điều này có khi $a=\text{max} \{a,b,c\}$
Hoàn tất chứng minh.
- mathbg và Nguyen Huy Hoang thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#5
Đã gửi 10-12-2014 - 20:38
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Hoang: 10-12-2014 - 20:38
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
#6
Đã gửi 10-12-2014 - 21:07
Gỉa sử $a\geq b\geq c$ $\Rightarrow \frac{1}{2}\leq a\leq 1$
BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq \frac{1}{2}$
Xét $f(a)=a(b+c)+bc$
+$b+c=0$ suy ra $a=\frac{3}{2}$ (vô lý)
+$b+c>0$
$\Rightarrow f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}.1+bc\geq \frac{1}{2}$
Suy ra đpcm.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh