Chủ đề này có 6 trả lời

[khavanloi]

Bài 1 (4,0 điểm)

          1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ , biết tiếp tuyến đó cắt đường tròn (T) có phương trình $x^2+y^2-2x-4y-\frac{11}{5}=0$ tại hai điểm A, B sao cho tam giác IOAB có diện tích lớn nhất, trong đó I là tâm đường tròn (T).

          2. Cho hàm số $y=x^3-3mx^2 +(m-1)x+2m$ có đồ thị $(C_{m})$ và điểm P(1;9). Tìm tất cả giá trị của m để đồ thị  $(C_{m})$  có hai điểm cực trị M, N sao cho tam giác MNP có trọng tâm G(1;3).

 

Bài 2 (6,0 điểm)

          1. Giải phương trình  $\sqrt{3}cos2x+sin2x-(4+\sqrt{3})cosx-sinx+2+\sqrt{3}=0$            

          2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, sao cho trong mỗi số tự nhiên đó chữ số 1 có mặt đúng hai lần, chữ số 2 có mặt đúng một lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần?

         

          3. Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{matrix} x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)=4\sqrt{xy}\\ x^2y\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}=x^2y-x \end{matrix}\right.$

 

Bài 3 (4,0 điểm)

               Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB=a, BC=2a, góc ACB = $30^{\circ}$ , hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và đường thẳng AA' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $60^{\circ}$ .

          1. Tính theo a thể tích khối chóp A'.BCC'B và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC.

          2. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C' và A'C.

Bài 4 (2,0 điểm)

               Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C): x^2+y^2-6x+2y+1=0$ và đường thẳng (d): 2x+y+1=0 và điểm $K(4;-\frac{9}{2})$ . Tìm tọa độ điểm M trên (d) để từ điểm M đó kẻ được hai tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A, B là hai tiếp điểm) sao cho khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng AB là lớn nhất.

Bài 5 (4,0 điểm)

          1. Giải phương trình $log_{2}(\frac{7^x+3^x}{4x+1})=8x+3-7^x-3^x$

          2. Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                                    $P=7(a^4+b^4+c^4)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khavanloi: 10-12-2014 - 13:33

[caovannct]

 

          3. Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{matrix} x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)=4\sqrt{xy}\\ x^2y\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}=x^2y-x \end{matrix}\right.$

 

 

 

Điều kiện xy>=0. Nhận thấy x = 0 ko thỏa mãn pt thứ 2 do đó pt thứ 2 đc viết lại 

$y\sqrt{1+y^2}-y=\frac{1}{x^2}\sqrt{1+x^2}-\frac{1}{x}$

Ta xét 2 trường hợp x>0 và x<0.

Nếu x>0 thì ta có pt $y(\sqrt{1+y^2}-1)=\frac{1}{x}\left (\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-\frac{1}{x} \right )$

Đến đây sử dụng pp hàm số là ổn rồi

[dogsteven]

Bài 5 (4,0 điểm)

          1. Giải phương trình $log_{2}(\frac{7^x+3^x}{4x+1})=8x+3-7^x-3^x$

          2. Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                                    $P=7(a^4+b^4+c^4)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ .

Đầu tiên, một bài toán quen thuộc: $(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)\leqslant 9$

$$P \geqslant 7(x^4+y^4+z^4)+\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{9} \geqslant \dfrac{7[9-2(ab+bc+ca)]^2}{3}+\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{9}$$

Đặt $t=ab+bc+ca$

Khảo sát hàm số.

[dogsteven]

Bài 4 (2,0 điểm)

               Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C): x^2+y^2-6x+2y+1=0$ và đường thẳng (d): 2x+y+1=0 và điểm $K(4;-\frac{9}{2})$ . Tìm tọa độ điểm M trên (d) để từ điểm M đó kẻ được hai tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A, B là hai tiếp điểm) sao cho khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng AB là lớn nhất.

Lâu rồi giờ mới làm lại đồ thị, em chém sai đừng trách

$$( C ): (x-3)^2+(y+1)^2=9$$

Gọi $N\left(0;\frac{-5}{2} \right)$

Xét cực và đối cực theo $( C )$:

Ta chứng minh được $N$ chính là cực của $(d)$

Từ đó ta có $AB$ luôn đi qua $N$

Đến đây dễ rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-12-2014 - 16:52

[khanghaxuan]

Đầu tiên, một bài toán quen thuộc: $(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)\leqslant 9$

$$P \geqslant 7(x^4+y^4+z^4)+\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{9} \geqslant \dfrac{7[9-2(ab+bc+ca)]^2}{3}+\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{9}$$

Đặt $t=ab+bc+ca$

Khảo sát hàm số.

Cách khác :  

 

Nhận xét :    $a^{k}b+b^{k}c+c^{k}a\leq max \left \{ 3;\frac{3^{k+1}.k^{k}}{(k+1)^{k+1}} \right \}$ (*) 

                                                               

                                 ( với $k\geq 0 ; a+b+c=3$ ) 

Áp dụng với $k=2$ ta có :                                      $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq 4$

 

Ta có thể chia 3 trường hợp để chứng minh (*) ( CM bằng BERNOUILLI) 

 

nên ta có : $P\geq 7(\sum a^{4})+\frac{\sum ab}{4}$ (**) 

 

mà                      $\left\{\begin{matrix} 2a^{4}+2\geq 4a^{2} & & \\ 2b^{4}+2\geq 4b^{2} & & \\ 2c^{4}+2\geq 4c^{2} & & \end{matrix}\right.$

 

Cộng vế theo vế ta có :         $2\sum a^{4}+6\geq 4(\sum a^{2})\Rightarrow \frac{1}{8}\sum a^{4}+\frac{3}{8}\geq \frac{1}{4}\sum a^{2}$

 

Tới đây  thế vào (**) để tạo ra :      1.   $(a+b+c)^{2}$ 

                                                        2.   $a^{4}+b^{4}+c^{4}$  

Từ đó áp  dụng Cauchy để tìm GTNN .                                      

[dogsteven]

Cách khác :  

 

Nhận xét :    $a^{k}b+b^{k}c+c^{k}a\leq max \left \{ 3;\frac{3^{k+1}.k^{k}}{(k+1)^{k+1}} \right \}$ (*) 

                                                               

                                 ( với $k\geq 0 ; a+b+c=3$ ) 

Áp dụng với $k=2$ ta có :                                      $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq 4$

 

Ta có thể chia 3 trường hợp để chứng minh (*) ( CM bằng BERNOUILLI) 

 

nên ta có : $P\geq 7(\sum a^{4})+\frac{\sum ab}{4}$ (**) 

 

mà                      $\left\{\begin{matrix} 2a^{4}+2\geq 4a^{2} & & \\ 2b^{4}+2\geq 4b^{2} & & \\ 2c^{4}+2\geq 4c^{2} & & \end{matrix}\right.$

 

Cộng vế theo vế ta có :         $2\sum a^{4}+6\geq 4(\sum a^{2})\Rightarrow \frac{1}{8}\sum a^{4}+\frac{3}{8}\geq \frac{1}{4}\sum a^{2}$

 

Tới đây  thế vào (**) để tạo ra :      1.   $(a+b+c)^{2}$ 

                                                        2.   $a^{4}+b^{4}+c^{4}$  

Từ đó áp  dụng Cauchy để tìm GTNN .                                      

 

Cái bất đẳng thức đầu: $a^2b+b^2c+c^2a\leqslant 4$

Đẳng thức xảy ra khi $a=2, b=1,c=0$ và hoán vị.

Nhưng bài này điểm rơi tại $a=b=c=1$

Cách làm này hoàn toàn không chính xác.

[cuncon321]

Bạn " dogsteven" oi cái bdt phụ trên chứng minh làm sao vậy?