Nguồn : Mathscope.
Vòng 1
Câu 1: (4 điểm) Chứng minh rằng từ 3 số nguyên lẻ đôi một phân biết, ta luôn có thể chọn ra hai số, gọi là $a$ và $b$, sao cho $a^3b-ab^3$ chia hết cho $40$.
Câu 2: (4 điểm) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa mãn
\[\left\{ \begin{array}{l}
cy + bz = a\\
az + cx = b\\
bx + ay = c
\end{array} \right.\]
Chứng minh rằng $$x+y+z\le \frac{3}{2}$$
Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$ khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến $DE$ của $(O)$ (E là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$), đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.
Câu 4: (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Câu 5 (4 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1,...,6\}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau 1 đơn vị?
Vòng 2
Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}
\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}&=2\sqrt{5} \\
(x+y)\left(\frac{1}{xy}+1 \right )& = 3\sqrt{2}
\end{cases}$$
Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},$ và $$a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\; \forall n\ge 1.$$
Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
Câu 3: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau
$$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1)\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác, $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$ tại $M_1,M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1,N_2$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BN_1N_2,CM_1M_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.
Câu 5(4 điểm) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây, bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số $n$ nếu nó chưa có trên bảng và $n$ là tổng của hai số nào đó đã có trên bản. Hãy xác định xem $2014$ có được hiển thị trên bảng hay không, nếu có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau
a) $a=3,b=12.$
b)$a=1,b=2.$
chọn 6 đk quất thôi
