$Cho:x,y,z khongamthoaman:x^3+y^3+z^3=3.Tim MaxP=3(xy+yz+zx)-xyz$
$Tìm Max P=3(xy+yz+zx)-xyz$
#1
Đã gửi 17-12-2014 - 17:23
#2
Đã gửi 17-12-2014 - 19:52
Theo định lý ABC, ta chỉ cần xét khi $x=y$ và khi $z=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 17-12-2014 - 19:53
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 20-12-2014 - 11:35
Ban noi cai gi vay???
#4
Đã gửi 20-12-2014 - 12:22
Theo định lý ABC, ta chỉ cần xét khi $x=y$ và khi $z=0$
Bạn trình bày rõ ra nhé.Trình bày như một bài đi thi đi.Nếu vào bài làm mà bạn chia ra trường hợp như vậy là ngộ nhận điểm rơi rồi.
- hungbuituan yêu thích
#5
Đã gửi 20-12-2014 - 12:38
$Cho:x,y,z khongamthoaman:x^3+y^3+z^3=3.Tim MaxP=3(xy+yz+zx)-xyz$
Ta có:
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{3^2}\geq \frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{9}\geq \sqrt{(\frac{xy+yz+zx}{3})^3}$
$\Rightarrow xy+yz+xz\leq 3$
$\frac{1}{xyz}\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})$
$\Rightarrow xyz\geq \frac{3}{\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}}\geq \frac{3}{\frac{9}{x^3+y^3+z^3}}=1$
$\Rightarrow -xyz \leq -1$
$\Rightarrow P\leq 3.3-1=8$
Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=1$
#6
Đã gửi 20-12-2014 - 12:42
Ta có:
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{3^2}\geq \frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{9}\geq \sqrt{(\frac{xy+yz+zx}{3})^3}$$\Rightarrow xy+yz+xz\leq 3$
$\frac{1}{xyz}\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})$
$\Rightarrow xyz\geq \frac{3}{\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}}\geq \frac{3}{\frac{9}{x^3+y^3+z^3}}=1$
$\Rightarrow -xyz \leq -1$
$\Rightarrow P\leq 3.3-1=8$
Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=1$
Cauchy-Schwarz ngược rồi
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#7
Đã gửi 20-12-2014 - 12:44
Bạn trình bày rõ ra nhé.Trình bày như một bài đi thi đi.Nếu vào bài làm mà bạn chia ra trường hợp như vậy là ngộ nhận điểm rơi rồi.
Tôi đâu ngộ nhận điểm rơi. Trên là các trường hợp phải xét chứ phải điểm rơi đâu
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#8
Đã gửi 20-12-2014 - 21:55
Dogsteven dùng phương pháp ABC bá quá, cơ mà đi thi phải chứng minh lại
Đặt ẩn $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$
Từ giả thiết ta có $p^3=3pq+3-3r<=> p^3+9r=3pq+3+6r(1)$
Áp dụng bất đẳng thức $Schur$ ta có $p^3+9r\geq 4pq(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $3pq+3+6r\geq 4pq<=>r\geq \frac{pq-3}{6}$
Mặt khác áp dụng cô si dễ dàng suy ra $q\leq 3$
Từ đây suy ra $<=> 3q-r\leq 3q-\frac{pq-3}{6}\leq 3q-\frac{q\sqrt{3q}-3}{6}=3t^2-\frac{\sqrt{3}t^3-3}{6}(3)$
Ta chứng minh $VP(3)\leq 8<=>\sqrt{3}t^3-18t^2+45\geq 0<=>(t-\sqrt{3})(\sqrt{3}t^2-15t-15\sqrt{3})\geq 0 (t=\sqrt{q})$
Với $0<t \leq \sqrt{3}$ thì điều trên luôn đúng
Max=8 khi $x=y=z=1$
A-QJ))
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh