Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoang Tung 126]

   Cho tam giác $ABC$ với độ dài 3 cạnh là $a,b,c$. Gọi $R,l_{a},l_{b},l_{c}$  lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và độ dài 3 đường phân giác trong hạ từ 3 đỉnh xuống 3 cạnh của tam giác .Gọi $r_{a},r_{b},r_{c}$ lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với 3 đỉnh của tam giác .CMR :

 

             $\frac{l_{a}^2.l_{b}^2.l_{c}^2}{a^2.b^2.c^2}\leq (\frac{r_{a}+r_{b}+r_{c}}{6R})^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 20-12-2014 - 09:28

[ChiLanA0K48]

   Cho tam giác $ABC$ với độ dài 3 cạnh là $a,b,c$. Gọi $R,l_{a},l_{b},l_{c}$  lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và độ dài 3 đường phân giác trong hạ từ 3 đỉnh xuống 3 cạnh của tam giác .Gọi $r_{a},r_{b},r_{c}$ lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với 3 đỉnh của tam giác .CMR :

 

             $\frac{l_{a}^2.l_{b}^2.l_{c}^2}{a^2.b^2.c^2}\leq (\frac{r_{a}+r_{b}+r_{c}}{6R})^3$

 

$\frac{l_a^{2}}{a^2}=\frac{4bc.p(p-a)}{(b+c)^2a^2}$

$(b+c)^{2}\geq 4bc\Rightarrow \frac{l_a^2}{a^2}\leq \frac{p(p-a)}{a^2}\Rightarrow \frac{l_a^2l_b^2l_c^2}{a^2b^2c^2}\leq\frac{p^3(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}$

lại có

$\frac{r_a}{R}=\frac{\frac{S}{p-a}}{\frac{abc}{4S}}=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-a)abc}=\frac{4p(p-b)(p-c)}{abc}\Rightarrow \frac{\sum r_a}{6R} = \frac{2p\sum (p-b)(p-c)}{3abc}$

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{p^3(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}\leq \left ( \frac{2p\sum (p-b)(p-c)}{3abc} \right )^3\Leftrightarrow \frac{p-a)(p-b)(p-c)}{8a^2b^2c^2}\leq \left ( \sum \frac{(p-b)(p-c)}{3abc} \right )^3$

ta có:

$\left ( \sum \frac{(p-b)(p-c)}{3abc} \right )^3\geq \frac{(p-b)^2(p-c)^2(p-a)^2}{a^3b^3c^3}\geq \left ( \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2} \right ).\frac{p-a)(p-b)(p-c)}{abc}= \left ( \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2} \right ).\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{8abc}\geq \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{8a^2b^2c^2}$

 

suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

[Hoang Tung 126]

$\frac{l_a^{2}}{a^2}=\frac{4bc.p(p-a)}{(b+c)^2a^2}$

$(b+c)^{2}\geq 4bc\Rightarrow \frac{l_a^2}{a^2}\leq \frac{p(p-a)}{a^2}\Rightarrow \frac{l_a^2l_b^2l_c^2}{a^2b^2c^2}\leq\frac{p^3(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}$

lại có

$\frac{r_a}{R}=\frac{\frac{S}{p-a}}{\frac{abc}{4S}}=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-a)abc}=\frac{4p(p-b)(p-c)}{abc}\Rightarrow \frac{\sum r_a}{6R} = \frac{2p\sum (p-b)(p-c)}{3abc}$

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{p^3(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}\leq \left ( \frac{2p\sum (p-b)(p-c)}{3abc} \right )^3\Leftrightarrow \frac{p-a)(p-b)(p-c)}{8a^2b^2c^2}\leq \left ( \sum \frac{(p-b)(p-c)}{3abc} \right )^3$

ta có:

$\left ( \sum \frac{(p-b)(p-c)}{3abc} \right )^3\geq \frac{(p-b)^2(p-c)^2(p-a)^2}{a^3b^3c^3}\geq \left ( \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2} \right ).\frac{p-a)(p-b)(p-c)}{abc}= \left ( \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2} \right ).\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{8abc}\geq \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{8a^2b^2c^2}$

 

suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Bạn làm sai đoạn cuối nhé $\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}\leq 1$ chứ

[ChiLanA0K48]

Bạn làm sai đoạn cuối nhé $\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}\leq 1$ chứ

Công nhận là sai thật. Mình ẩu quá. Xin lỗi mọi người nhé! Mình chứng minh lại thế này:

 

 

   Cho tam giác $ABC$ với độ dài 3 cạnh là $a,b,c$. Gọi $R,l_{a},l_{b},l_{c}$  lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và độ dài 3 đường phân giác trong hạ từ 3 đỉnh xuống 3 cạnh của tam giác .Gọi $r_{a},r_{b},r_{c}$ lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với 3 đỉnh của tam giác .CMR :

 

             $\frac{l_{a}^2.l_{b}^2.l_{c}^2}{a^2.b^2.c^2}\leq (\frac{r_{a}+r_{b}+r_{c}}{6R})^3$

 

$\frac{l_a^{2}}{a^2}=\frac{4bc.p(p-a)}{(b+c)^2a^2}$

$(b+c)^{2}\geq 4bc\Rightarrow \frac{l_a^2}{a^2}\leq \frac{p(p-a)}{a^2}\Rightarrow \frac{l_a^2l_b^2l_c^2}{a^2b^2c^2}\leq\frac{p^3(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}$

suy ra $\frac{l_a^2l_b^2l_c^2}{a^2b^2c^2}\leq\frac{p^3(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}\leq \frac{1}{27}\left (\frac{p(p-a)}{bc}+\frac{p(p-b)}{ca}+\frac{p(p-c)}{ab} \right )^{3}$

 

mà ta có $cos^{2}\frac{A}{2}=\frac{cosA+1}{2}=\frac{1}{2}\left (\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1 \right )=\frac{p(p-a)}{bc}$

suy ra $\frac{l_a^2l_b^2l_c^2}{a^2b^2c^2}\leq\frac{1}{27}\left ( cos^2\frac{A}{2}+cos^2\frac{B}{2}+cos^2\frac{C}{2} \right )^3= \frac{1}{27}\left (\frac{1}{2}\sum cosA +\frac{3}{2} \right )^3$

 mà

$\sum cosA=1+\frac{r}{R}$

$\sum r_a=p\left ( \sum tan\frac{A}{2} \right )=p\left ( \frac{4R+r}{p} \right )=4R+r$

$\Rightarrow \frac{l_a^2l_b^2l_c^2}{a^2b^2c^2}\leq\frac{1}{27}\left ( \frac{r}{2R}+2 \right )^3=\left ( \frac{4R+r}{6R}\right )^3= \left ( \frac{r_a+r_b+r_c}{6R} \right )^3$

suy ra đpcm

[lahantaithe99]

   Cho tam giác $ABC$ với độ dài 3 cạnh là $a,b,c$. Gọi $R,l_{a},l_{b},l_{c}$  lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và độ dài 3 đường phân giác trong hạ từ 3 đỉnh xuống 3 cạnh của tam giác .Gọi $r_{a},r_{b},r_{c}$ lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với 3 đỉnh của tam giác .CMR :

 

             $\frac{l_{a}^2.l_{b}^2.l_{c}^2}{a^2.b^2.c^2}\leq (\frac{r_{a}+r_{b}+r_{c}}{6R})^3$

Cách 2: Sử dụng các đẳng thức

$ab+bc+ac=p^2+4Rr+r^2$

$\frac{abc}{4R}=pr$

 

Ta có VT $=\frac{64p^3(p-a)(p-b)(p-c)}{\prod (a+b)^2}\leq \frac{81S^2p^2}{(a+b+c)^2(ab+bc+ac)^2}\leq \frac{81S^2p^2}{3abc(a+b+c)^3}=\frac{27S^2}{8abcp}$

 

VP$=\left [ \frac{S\sum\frac{1}{p-a}}{6R} \right ]^3=\left [ \frac{S(ab+bc+ac-p^2)}{6R(p-a)(p-b)(p-c)} \right ]^3=\left [ \frac{p(r^2+4Rr)}{6RS} \right ]^3=(\frac{r+4R}{6R})^3$

 

Cần chứng minh VT  $\leq$ VP hay

 

$729R^3S^2\leq pabc(4R+r)^3\Leftrightarrow 729R(4RS)^2\leq 16pabc(4R+r)^3\Leftrightarrow 729abc\leq 16p(4R+r)^3\Leftrightarrow 729R^2r\leq 4(4R+r)^3$

 

BĐT trên đúng do tương đương với $(R-2r)(256R^2-Rr-2r^2-24Rr)\geq 0$) (luôn đúng với $R\geq 2r$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-12-2014 - 09:02