Chủ đề này có 7 trả lời

[ngutoanso1]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh :$\frac{a^{5}}{b^{2}} + \frac{b^{5}}{c^{2}} + \frac{c^{5}}{a^{2}} \geqslant a^{3}+b^{3} + c^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 18-01-2015 - 00:40

[Nguyen Minh Hai]

$\frac{a^{5}}{b^{2}} + \frac{b^{5}}{c^{2}} + \frac{c^{5}}{a^{2}} \geqslant a^{3}+b^{3} + c^{3}$

Mình bổ sung điều kiện $a,b,c\geq 0$

Theo AM-GM, ta có:

$\frac{a^5}{b^2}+ab^2\geq 2\sqrt{a^6}=2a^3$

$\frac{b^5}{c^2}+bc^2\geq 2\sqrt{b^6}=2b^3$

$\frac{c^5}{a^2}+ca^2\geq 2\sqrt{c^6}=2c^3$

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được

$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^3+b^3+c^3)$   (1)

Lại có:

$ab^2=a.b.b\leq \frac{1}{3}(a^3+b^3+b^3)$

Tương tự: $bc^2\leq \frac{1}{3}(b^3+c^3+c^3)$

$ca^2\leq \frac{1}{3}(c^3+a^3+a^3)$

Cộng 3 BĐT trên lại ta có: 

$ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$   (2)

Trừ theo vế (1) và (2) ta được đpcm.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

Thấy là lính mới nên giải chi tiết dễ hiều rồi đó!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 22-12-2014 - 10:29

[Hoang Long Le]

$\frac{a^{5}}{b^{2}} + \frac{b^{5}}{c^{2}} + \frac{c^{5}}{a^{2}} \geqslant a^{3}+b^{3} + c^{3}$

Swarchz: $\sum \frac{a^5}{b^2}=\sum \frac{a^6}{ab^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum \frac{a^3+b^3+b^3}{3}}=\sum a^3$

[ngutoanso1]

Mình bổ sung điều kiện $a,b,c\geq 0$

Theo AM-GM, ta có:

$\frac{a^5}{b^2}+ab^2\geq 2\sqrt{a^6}=2a^3$

$\frac{b^5}{c^2}+bc^2\geq 2\sqrt{b^6}=2b^3$

$\frac{c^5}{a^2}+ca^2\geq 2\sqrt{c^6}=2c^3$

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được

$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^3+b^3+c^3)$   (1)

Lại có:

$ab^2=a.b.b\leq \frac{1}{3}(a^3+b^3+b^3)$

Tương tự: $bc^2\leq \frac{1}{3}(b^3+c^3+c^3)$

$ca^2\leq \frac{1}{3}(c^3+a^3+a^3)$

Cộng 3 BĐT trên lại ta có: 

$ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$   (2)

Trừ theo vế (1) và (2) ta được đpcm.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

Thấy là lính mới nên giải chi tiết dễ hiều rồi đó!

mình cảm ơn   

[JayVuTF]

sao dài thế nhỉ

cách ngắn hơn tại http://diendan.hocma...ad.php?t=405210

[Nguyen Minh Hai]

Swarchz: $\sum \frac{a^5}{b^2}=\sum \frac{a^6}{ab^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum \frac{a^3+b^3+b^3}{3}}=\sum a^3$

Thấy lính mới mà ra oai à chú Long... Mình hiểu rồi giải đơn giản cho người khác hiểu!

[Nguyen Minh Hai]

sao dài thế nhỉ

cách ngắn hơn tại http://diendan.hocma...ad.php?t=405210

Giống nhau thôi bạn....Ở đây mình chỉ trình bày rõ ràng rành mạch chi tiết nên mới dài hơn thôi!

[JayVuTF]

Giống nhau thôi bạn....Ở đây mình chỉ trình bày rõ ràng rành mạch chi tiết nên mới dài hơn thôi!

cũng không cần phải dài đâu

làm ngắn thì dễ đọc ,dễ quan sát hơn

ngắn nhưng đủ ý thì hơn là dài