Chủ đề này có 3 trả lời

[lovemirror]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

Tìm GTLN của P= $\frac{x^2 + xy}{5 - z^2} + \frac{y^2 + yz}{5 - x^2} + \frac{z^2 + zx}{5 - y^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 23-12-2014 - 12:43

[leduylinh1998]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

Tìm GTLN của P= $\frac{x^2 + xy}{5 - z^2} + \frac{y^2 + yz}{5 - x^2} + \frac{z^2 + zx}{5 - y^2}$

Ta có:

$\frac{x^{2}+xy}{5-z^{2}}=\frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}$

Ta chứng minh BĐT phụ sau:

$\frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}x$

Biến đổi tương đương ta được

$x\left [ (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \right ]\geq 0$  (luôn đúng với x>0)

Làm tương tự, rồi cộng vế theo vế, ta được

$\sum \frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}(a+b+c)\leq\frac{1}{2}\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} =\frac{3}{2}$

[Nguyen Minh Hai]

Ta có:

$\frac{x^{2}+xy}{5-z^{2}}=\frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}$

Ta chứng minh BĐT phụ sau:

$\frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}x$

Biến đổi tương đương ta được

$x\left [ (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \right ]\geq 0$  (luôn đúng với x>0)

Làm tương tự, rồi cộng vế theo vế, ta được

$\sum \frac{x^{2}+xy}{2+x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}(a+b+c)\leq\frac{1}{2}\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} =\frac{3}{2}$

Có vẽ như ko tự nhiên lắm

[Nguyen Minh Hai]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

Tìm GTLN của P= $\frac{x^2 + xy}{5 - z^2} + \frac{y^2 + yz}{5 - x^2} + \frac{z^2 + zx}{5 - y^2}$

Ta có:
$P-\frac{3}{2}=\sum \frac{x^2+xy+\frac{z^2-5}{2}}{5-z^2}\leq \sum \frac{x^2+\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{z^2-5}{2}}{5-z^2}=\sum \frac{x^2-1}{5-z^2}= -\sum\frac{x^2}{z^2-5}-\sum \frac{1}{5-z^2}\leq -\frac{(x+y+z)^2}{-12}-\frac{3^2}{12}\leq \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{12}-\frac{3^2}{12}=0$

$\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}$

Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=1$