Chủ đề này có 4 trả lời

[mayumichan]

Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

[nhungvienkimcuong]

Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

không mất tính tổng quát giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

do đó ta có $VT\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(a+b+1)\prod (1-a)}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(1+a)(1+b)\prod (1-a)}{a+b+1}$

                        $=\frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1$

 

U-Th

[mayumichan]

không mất tính tổng quát giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

do đó ta có $VT\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(a+b+1)\prod (1-a)}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(1+a)(1+b)\prod (1-a)}{a+b+1}$

                        $=\frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1$

 

U-Th

bạn có thể giải rõ hơn không? 

[binhnhaukhong]

bạn có thể giải rõ hơn không? 

Cách giải truyền thống:

Giả sử $a=max$ {a,b,c} khi đó,ta có:

$\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{b}{b+c+1},\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{b+c+1}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$(1-b)(1-c)(1+b+c)\leq (\frac{1+1+1-b-c+b+c}{3})^3=1\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}$

$\Rightarrow VT\leq \frac{a+b+c+1-a}{b+c+1}=1$

Dấu bằng khi $a=b=c=0$

[JayVuTF]

 

Cách giải truyền thống:

Giả sử $a=max$ {a,b,c} khi đó,ta có:

$\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{b}{b+c+1},\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{b+c+1}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$(1-b)(1-c)(1+b+c)\leq (\frac{1+1+1-b-c+b+c}{3})^3=1\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}$

$\Rightarrow VT\leq \frac{a+b+c+1-a}{b+c+1}=1$

Dấu bằng khi $a=b=c=0$

 

Cái này nhìn quen quá

Hình như trong sách cũng có