Chủ đề này có 1 trả lời

[pndpnd]

Cho $f(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+....+a_{n}$ là đa thức có các hệ số thực và có $a_{0}$ khác $0$ và thỏa mãn $f(x).f(2x^2)=f(2x^3+x)$ với mọi $x$ thuộc $R$. Chứng minh đa thức $f(x)$ không có nghiệm thực.

[nhungvienkimcuong]

Cho $f(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+....+a_{n}$ là đa thức có các hệ số thực và có $a_{0}$ khác $0$ và thỏa mãn $f(x).f(2x^2)=f(2x^3+x)$ với mọi $x$ thuộc $R$. Chứng minh đa thức $f(x)$ không có nghiệm thực.

sau đây là lời giải trong cuốn "chuyên khảo đa thức"

để tiện mình đặt lại $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \ (a_n\neq 0)$

ta có $\left ( a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \right )\left [ a_n(2x^2)^n+a_{n-1}(2x^2)^{n-1}+...+a_1.2x^2+a_0 \right ]$

        $=a_n(2x^3+x)^n+...+a_1(2x^3+x)+a_0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^na_n^2=2^na_n\\a_0^2=a_0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_n=1\\\left[\begin{matrix} a_0=0\\a_0=1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

$\blacksquare$ với $a_n=1,a_0=0$

do đó $f(x)=x^mf_1(x)$ với $f_1(x)\neq 0,m\in \mathbb{N}$

thay vào giả thiết ta được $2^m.x^{3m}.f_1(x).f_1(2x^2)=(2x^2+1)^mf_1(x)(2x^3+x)$

lấy $x=0\Rightarrow f_1(0)=0$ $($ vô lí $)$

do đó trường hợp này không tồn tại đa thức thỏa

$\blacksquare$ với $a_n=1,a_0=0$

giả sử $\alpha =r\left ( cos\varphi +i.sin\varphi \right )$ là một nghiệm của $f(x)$ thì $2\alpha ^3+\alpha$ cũng là một nghiệm của $f(x)$ $($ vì $f(2\alpha ^3+\alpha )=f(\alpha )f(2\alpha ^2)=0$ $)$

ta có $\left | 2\alpha ^3+\alpha \right |=\left | \alpha \right |\left | 2\alpha ^2+1 \right |>\left | \alpha \right |\left | 2\alpha ^2-1 \right |$

do đó nếu $\left | \alpha \right |>1\Rightarrow \left | 2\alpha ^3+\alpha \right |>\left | \alpha \right |$ nên $f(x)$ không $\equiv \ 0$ có vô số nghiệm khác nhau

$x_1=\alpha ,x_{i+1}=2x_i^2+x_i$ với $i=1,2,...$ điều này vô lí

suy ra nghiệm của $f(x)$ phải có môdun không lớn hơn $1$,nhưng vì tích các nghiệm bằng $1$ nên $\left | \alpha \right |=1$

từ $1=\left | 2\alpha ^3+\alpha \right |^2=\left | 2\alpha ^2+1 \right |^2=4cos2\varphi +5\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \varphi=\frac{\pi }{2}+\pi m \ (m\in \mathbb{Z})\\\alpha =\pm i \end{matrix}\right.$

vì đa thức $f(x)$ có hệ số thực nên $f(x)=(x^2+1)^k \ \ \ k\in \mathbb{Z}^+$

do đó có đpcm

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-01-2015 - 17:59