5 replies to this topic

[ngutoanso1]

Cho x + y + z=3. tìm GTNN của biểu thức P = $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+ \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

Edited by ngutoanso1, 06-01-2015 - 20:07.

[vandong98]

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}+\frac{(x+y)^{2}}{2}}\geq \sqrt{\frac{(x+y)^{2}}{4}+\frac{(x+y)^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.(x+y)$.

tương tự suy ra:

$P\geq \sqrt{3}.(x+y+z)=3\sqrt{3}\Rightarrow minP=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$

[Nguyen Chi Thanh 3003]

Cho a+b+c=3. tìm GTNN của biểu thức P = $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+ \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

Sao tự dưng đằng trước là $a,b,c$ đằng sau lại là $x,y,z$ vậy 

ta có $x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2$

$\Rightarrow P=\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(y+z)^2+\frac{1}{4}(y-z)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(x+z)^2+\frac{1}{4}(z-x)^2}$

Theo $Minkowxki$

$P\geqslant \sqrt{(\sqrt{3}(x+y+z))^2}=3\sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

[ngutoanso1]

Sao tự dưng đằng trước là $a,b,c$ đằng sau lại là $x,y,z$ vậy 

ta có $x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2$

$\Rightarrow P=\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(y+z)^2+\frac{1}{4}(y-z)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(x+z)^2+\frac{1}{4}(z-x)^2}$

Theo $Minkowxki$

$P\geqslant \sqrt{(\sqrt{3}(x+y+z))^2}=3\sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

mình dùng minkowski tự làm đc từ trước rồi   nhưng chương trình lớp 9 thi hsg của mình không cho phép dùng. bạn có cách khác không ?

Edited by ngutoanso1, 06-01-2015 - 19:56.

[ngutoanso1]

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}+\frac{(x+y)^{2}}{2}}\geq \sqrt{\frac{(x+y)^{2}}{4}+\frac{(x+y)^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.(x+y)$.

tương tự suy ra:

$P\geq \sqrt{3}.(x+y+z)=3\sqrt{3}\Rightarrow minP=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$

thank bạn 

[Hoang Long Le]

mình dùng minkowski tự làm đc từ trước rồi   nhưng chương trình lớp 9 thi hsg của mình không cho phép dùng. bạn có cách khác không ?

Cái đó không dùng Minkovsky cũng được mà

Ta có: $x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2 \geq \frac{3}{4}(x+y)^2$

Tương tự với y,z thì ta có:

$P \geq \frac{\sqrt{3}}{2}.2(x+y+z)=3\sqrt{3}$