Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungn0inua: 06-01-2015 - 20:01
$\frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{{14}}{{{{(a + b)}^2}}}$
#1
Đã gửi 06-01-2015 - 19:39
- hoangson2598 yêu thích
#2
Đã gửi 09-01-2015 - 23:22
Cho \[a,b > 0\].CMR\[\frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{{14}}{{{{(a + b)}^2}}}\]
Áp dụng BĐT AM -GM ta có
$\large \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{2}{ab}$
Cần chứng minh $\large \frac{3}{a^2+b^2}+ \frac{2}{ab}\geq \frac{14}{(a+b)^2}$
$\large \Leftrightarrow \frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}\geq\frac{14}{(a+b)^2}$
Lại có
$\large \frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\geq\frac{3.2^2}{(a+b)^2}$
$\large \frac{1}{2ab}\geq\frac{2}{(a+b)^2}$
Cộng vế 2 bất đẳng thức trên ta được ĐPCM
- leduylinh1998 yêu thích
#3
Đã gửi 10-01-2015 - 18:21
Từ các đẳng thức và bất đẳng thức sau:
$\dfrac{3}{a^2+b^2}-\dfrac{3}{2ab}=\dfrac{-3(a-b)^2}{2ab(a^2+b^2)}$
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{2}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{(ab)^2}$
$\dfrac{14}{(a+b)^2}-\dfrac{14}{4ab}=\dfrac{-7(a-b)^2}{2ab(a+b)^2}$
$\dfrac{1}{ab}\geqslant \dfrac{2}{a^2+b^2}>\dfrac{3}{2(a^2+b^2)}$
Ta suy ra được: $VT-VP\geqslant \dfrac{3}{2ab}+\dfrac{2}{ab}-\dfrac{7}{2ab}=0$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#4
Đã gửi 10-01-2015 - 21:06
nhận thấy dấu "=" xảy ra <=>a=b=1.
Do đó:
BĐT<=>$\left ( \frac{3}{a^{2}+b^{2}}-\frac{6}{(a+b)^{2}} \right )+\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{8}{(a+b)^{2}} \right )\geqslant 0$
Sau đó phân tích tiếp để đặt ra ngoài $(a-b)^{2}$ ra ngoài và trong ngoặc là phayn thức vs tử và mẫu đều dương
#oimeoi #
#5
Đã gửi 29-04-2021 - 11:05
Cho \[a,b > 0\].CMR\[\frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{{14}}{{{{(a + b)}^2}}}\]
$VT-VP=\frac{(a-b)^2(a^4+b^4+4a^3b+4ab^3-a^2b^2)}{a^2b^2(a^2+b^2)(a+b)^2}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh