Chủ đề này có 1 trả lời

[Supermath98]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $\sum a^{2}=3$

CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+a+b+c\geq 6$

[25 minutes]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $\sum a^{2}=3$

CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+a+b+c\geq 6$

Bài này làm hơi tắt đoạn S.O.S tí 

Ta cần chứng minh 

 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(a+b+c)\geqslant 3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Dễ thấy AM-GM $\Rightarrow  (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(a+b+c)\geqslant \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{b}+2(a+b+c)$

Do đó chỉ cần chứng minh 

          $ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{b}-(a+b+c)\geqslant 3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geqslant \frac{3\sum (a-b)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [ \frac{1}{b}-\frac{3}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)} \right ]\geqslant 0$

Lại có đơn giản hơn thì

       $ \sum (a-b)^2\left [ \frac{1}{b}-\frac{3}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)} \right ]\geqslant \sum (a-b)^2\left [ \frac{1}{b}-\frac{3}{2(a+b+c)} \right ]$

Đến đây sử dụng tiêu chuẩn S.O.S ta có đpcm

Vậy $P\geqslant \frac{3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{a+b+c}+a+b+c=\frac{9}{a+b+c}+a+b+c\geqslant 6$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$