Chủ đề này có 1 trả lời

[Messi10597]

Cho $a,b,c\geq 0$ . Chứng minh : $4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}$

[25 minutes]

Cho $a,b,c\geq 0$ . Chứng minh : $4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}$

Đặt $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})=(x,y,z)$

BĐT trở thành $4(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)\leqslant 4z^6+(x^2+y^2)^3$

Chia cả 2 vế cho $z^6$, rồi đặt $\frac{x}{z}=t,\frac{y}{z}=u$, ta được

                $4(t^3u^3+t^3+u^3)\leqslant 4+t^6+u^6+3t^4u^2+3t^2u^4$

Áp dụng AM-GM ta có

          $ 4+t^6+u^6+3t^4u^2+3t^2u^4\geqslant 4+t^6+u^6+6t^3u^3=4+(t^3+u^3)^2+4t^3u^3\geqslant 4(t^3+u^3+t^3u^3)$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$