Cho $a,b,c\geq 0$ . Chứng minh : $4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}$
$4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}$
Bắt đầu bởi Messi10597, 10-01-2015 - 11:08
#1
Đã gửi 10-01-2015 - 11:08
#2
Đã gửi 10-01-2015 - 13:42
Cho $a,b,c\geq 0$ . Chứng minh : $4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}$
Đặt $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})=(x,y,z)$
BĐT trở thành $4(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)\leqslant 4z^6+(x^2+y^2)^3$
Chia cả 2 vế cho $z^6$, rồi đặt $\frac{x}{z}=t,\frac{y}{z}=u$, ta được
$4(t^3u^3+t^3+u^3)\leqslant 4+t^6+u^6+3t^4u^2+3t^2u^4$
Áp dụng AM-GM ta có
$ 4+t^6+u^6+3t^4u^2+3t^2u^4\geqslant 4+t^6+u^6+6t^3u^3=4+(t^3+u^3)^2+4t^3u^3\geqslant 4(t^3+u^3+t^3u^3)$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
- Messi10597, lahantaithe99 và khanghaxuan thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh