Chủ đề này có 3 trả lời

[duyanh782014]

Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=1$.CMR $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 18-01-2015 - 00:15

[Truong Gia Bao]

Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=1$.CMR $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$

VT =$(1+\frac{a+b+c}{a})(1+\frac{a+b+c}{b})(1+\frac{a+b+c}{c})=\left ( 1+1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \right )(1+1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b})(1+1+\frac{b}{c}+\frac{a}{c})\geq 4\sqrt[4]{\frac{bc}{a^2}}.4\sqrt[4]{\frac{ac}{b^2}}.4\sqrt[4]{\frac{ab}{c^2}}=64\square$

Dấu "=" xảy ra $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=1$.CMR $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$

BĐT tương đương: $\prod (a+1)\geq 64<=>\prod (2a+b+c)\geq 64abc$

Dễ thấy BĐT đúng theo AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 26-07-2015 - 21:40

[Le Dinh Hai]

Cách khác:

$VT=\prod (1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a})\geq 4^{3}.\sqrt[4]{\frac{1}{(27abc)^{3}}}\geq 64$