Chủ đề này có 2 trả lời

[chieckhantiennu]

1. Cho (O;r) nt tam giác ABC, đường thẳng qua O cắt 2 cạnh AB và AC lần lượt tại M,N. Xác định vị trí của đường thg MN để $S_{CMN} min$

2. Cho (O;R), (O';r) sao cho O nằm trên (O'). Dây AB của (O) di động sao cho luôn tiếp xúc với (O') tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB sao cho $AC^2+BC^2 max$

3. Tam giác ABC thay đổi nhưng luôn có chu vi bằng 2p. M,N thuộc AB,AC sao cho MN//BC và MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm $max_{MN}$

[Nguyen Minh Hai]

1. Cho (O;r) nt tam giác ABC, đường thẳng qua O cắt 2 cạnh AB và AC lần lượt tại M,N. Xác định vị trí của đường thg MN để $S_{CMN} min$

 

Kẻ $OH, OK$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ 
$\Rightarrow OH=OK=r$

Ta có: $S_{CMN}=S_{OMC}+S_{ONC} = \frac{1}{2}.OH.MC+\frac{1}{2}.OK.NC$ $=\frac{r}{2}(MC+NC} \geq \frac{r}{2}.2. \sqrt{MC.NC$   (1)

Lại có: $S_{CMN} =\frac{1}{2}.CM.CN.sinMCN \leq \frac{1}{2}.CM.CN \Rightarrow CM.CN \geq 2S_{CMN}$         (2) 

$(1) , (2) \Rightarrow S_{CMN} \geq \frac{r}{2}.2\sqrt{2S_{CMN}}$
$\Leftrightarrow S_{CMN}^2 \geq r^2.2S_{CMN} \Rightarrow S_{CMN} \geq 2r^2$

Xảy ra dấu $"="$ khi $CM=CN$ 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 05-09-2015 - 00:36

[Hoang Long Le]

3. Tam giác ABC thay đổi nhưng luôn có chu vi bằng 2p. M,N thuộc AB,AC sao cho MN//BC và MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm $max_{MN}$

Hạ đường cao AH cắt MN tại H' thì HH'=2r

Đặt $BC=a;AH=h_a$

Ta có: $\frac{MN}{a}=\frac{AH'}{AH}=1-\frac{2r}{h_a}$

Lại có: $ah_a=2pr=p.2r \Rightarrow \frac{2r}{h_a}=\frac{a}{p}$

Suy ra $\frac{MN}{a}=1-\frac{a}{p}=\frac{p-a}{p} \Rightarrow MN=\frac{a(p-a)}{p}$

Chỗ này dùng AM-GM là được, vì p cố định rồi mà