Chủ đề này có 5 trả lời

[mnguyen99]

Câu 1: Giải hệ $\left\{\begin{matrix}4x^{2}+y^{4}-4xy^{3}-1=0\\ 2x^{2}+y^{2}-2xy-1=0\\end{matrix}\right.$

Câu 2: Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$  thỏa: $f((x-y)^{2})=x^{2}-2yf(x))+f^{2}(y)$

Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho: $\frac{x+y}{x^{2}-xy+y^{2}}=\frac{2}{7}$

 Câu 4: Cho tam giác ABC ko cân ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp đường tròn (O), gọi M là tiếp điểm của (I) của BC. $T_{1}$  là đường tròn thay đổi và tiếp xúc với BC tại M. Giả sử $T{2}$  là đường tròn thay đổi và đi qua 2 điểm B, C. Giả sử $T{1}$ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm D, E và  cắt $T_{2}$ đường tròn (I) tại 2 điểm F,G. CM 2 đường thẳng DE và FG cắt nhau tại 1 điểm cố định.

[Bui Ba Anh]

Câu 2:

Thay $y=0$ ta có $f(x^2)=x^2+f^2(0) \forall x \in R$

Thay $x=0$ ta có $f(y^2)=-2yf(0)+f^2(y) \forall x \in R$

Hay $f(x^2)=-2xf(0)+f^2(x)=x^2+f^2(0)=>f^2(x)=(x+f(0))^2=>....$

[hoctrocuaZel]

Câu 3/

 $LHS<=>2x^2-(2y+7)x+2y^2-7y=0$.

Dễ thấy cái "tam giác" có chiều của $y^2<0$. 

Xét denta kg âm, chặn khoảng

[Bui Ba Anh]

Câu 3 chuẩn rồi

Khoảng $2 \leq y \leq 5$

chắc v 

[Bui Ba Anh]

câu 4: Xét phương tích $(O),(I),(T_1),(T_2)$ ta suy ra 2 đường này đồng quy tại $I$ nào đó

Chú ý $IM^2=IB.IC$, đặt tọa độ là ra đc điểm cố định

[nhungvienkimcuong]

Câu 2: Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$  thỏa: $f((x-y)^{2})=x^{2}-2yf(x))+f^{2}(y)$

$P(0,0)\rightarrow f(0)=\left ( f(0) \right )^2\Rightarrow \left[\begin{matrix} f(0)=0\\f(0)=1 \end{matrix}\right.$

$\blacksquare$ với $f(0)=1$

$P(x,0)\rightarrow f(x^2)=x^2+1\Rightarrow f(x)=x+1 \ \ \forall x\geq 0$

$P(0,y)\rightarrow f(y^2)=-2y+\left ( f(y) \right )^2\Rightarrow \left ( f(y) \right )^2=f(y^2)+2y=(y^2+1)+2y=(y+1)^2\Rightarrow \left[\begin{matrix} f(y)=y+1\\f(y)=-y-1 \end{matrix}\right.$

$P(x,x)\rightarrow 1=\left ( x-f(x) \right )^2\Rightarrow \left[\begin{matrix}f(x)=x+1 \\f(x)=x-1 \end{matrix}\right.$

do đó $f(x)=x+1$ thử lại thỏa

$\blacksquare$ với $f(0)=0$

$P(x,x)\rightarrow 0=\left ( x-f(x) \right )^2\Rightarrow f(x)=x$

thử lại thấy thỏa

vậy $\boxed{f(x)=x+1 \ \ \text{và} \ \ f(x)=x \ \ \forall x\in \mathbb{R}}$

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-01-2015 - 04:50