1 reply to this topic

[Hoang Tung 126]

    Cho dãy số $x_{n}$ xác định bởi  $x_{1}=5,x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+3x_{n}+16}{x_{n}^{2014}-x_{n}+11}$ 

 

   Đặt $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{2014}+7}$ với mọi số nguyên dương $n$

 

  Tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty }S_{n}$

[vandong98]

+ Chứng minh $x_{n}> 4$ bằng quy nạp.

+ Chứng minh dãy tăng

+ Giả sử dãy có giới hạn: L=$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}(L> 4)$, L thoả:

$L=\frac{L^{2015}+3L+16}{L^{2014}-L+11}\Leftrightarrow L=4,$ không thoả.

Vậy $\lim_{n\rightarrow + \infty }=+\infty $

+ Ta có: $x_{i+1}=\frac{x_{i}^{2015}+3x_{i}+16}{x_{i}^{2014}-x_{i}+11}\Leftrightarrow (x_{i}^{2014}+7)(x_{n+1}-x_{i})=(x_{i+1}-4)(x_{i}-4)\Leftrightarrow \frac{1}{x_{i}^{2014}+7}=\frac{1}{x_{i}-4}-\frac{1}{x_{i+1}-4}$

$S_{n}=\frac{1}{x_{1}-4}-\frac{1}{x_{n}-1}$

Vậy $\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}=1$

Edited by vandong98, 18-01-2015 - 10:23.