Cho dãy số $x_{n}$ xác định bởi $x_{1}=5,x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+3x_{n}+16}{x_{n}^{2014}-x_{n}+11}$
Đặt $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{2014}+7}$ với mọi số nguyên dương $n$
Tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty }S_{n}$
Cho dãy số $x_{n}$ xác định bởi $x_{1}=5,x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+3x_{n}+16}{x_{n}^{2014}-x_{n}+11}$
Đặt $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{2014}+7}$ với mọi số nguyên dương $n$
Tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty }S_{n}$
+ Chứng minh $x_{n}> 4$ bằng quy nạp.
+ Chứng minh dãy tăng
+ Giả sử dãy có giới hạn: L=$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}(L> 4)$, L thoả:
$L=\frac{L^{2015}+3L+16}{L^{2014}-L+11}\Leftrightarrow L=4,$ không thoả.
Vậy $\lim_{n\rightarrow + \infty }=+\infty $
+ Ta có: $x_{i+1}=\frac{x_{i}^{2015}+3x_{i}+16}{x_{i}^{2014}-x_{i}+11}\Leftrightarrow (x_{i}^{2014}+7)(x_{n+1}-x_{i})=(x_{i+1}-4)(x_{i}-4)\Leftrightarrow \frac{1}{x_{i}^{2014}+7}=\frac{1}{x_{i}-4}-\frac{1}{x_{i+1}-4}$
$S_{n}=\frac{1}{x_{1}-4}-\frac{1}{x_{n}-1}$
Vậy $\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vandong98: 18-01-2015 - 10:23
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh