2 replies to this topic

[Mashiro]

Cho tam giác $\mathit{ABC}$, các phân giác trong $\mathit{AD}$,$\mathit{BE}$,$\mathit{CF}$ đồng quy tại $\mathit{I}$.$\mathit{P}$ là điểm bất kì. $\mathit{PA}$, $\mathit{PB}$, $\mathit{PC}$ cắt $\mathit{EF}$,$\mathit{FD}$,$\mathit{DE}$ lần lượt tại$ A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ . $\mathit{IA_{1}}$, $\mathit{IB_{1}}$, $\mathit{IC_{1}}$ cắt BC, CA, AB tại $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ . Chứng minh $\mathit{AA_{2}}$, $\mathit{BB_{2}}$, $\mathit{CC_{2}}$

Edited by Mashiro, 18-01-2015 - 18:40.

[WhjteShadow]

Cho tam giác $\mathit{ABC}$, các phân giác trong $\mathit{AD}$,$\mathit{BE}$,$\mathit{CF}$ đồng quy tại $\mathit{I}$.$\mathit{P}$ là điểm bất kì. $\mathit{PA}$, $\mathit{PB}$, $\mathit{PC}$ cắt $\mathit{EF}$,$\mathit{FD}$,$\mathit{DE}$ lần lượt tại$ A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ . $\mathit{IA_{1}}$, $\mathit{IB_{1}}$, $\mathit{IC_{1}}$ cắt BC, CA, AB tại $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ . Chứng minh $\mathit{AA_{2}}$, $\mathit{BB_{2}}$, $\mathit{CC_{2}}$

Nếu $EF\parallel BC$ thì tam giác $ABC$ cân, sử dụng $Thales$ và đồng dạng dễ dàng có được $AI$ là phân giác $\widehat{A_1AA_2}$.

Nếu $EF$ cắt $BC$ tại $M$, gọi $AD$ cắt $EF$ tại $L$. $A_1A_2$ cắt $AM$ tại $A_4$, $AP$ cắt $BC$ tại $A_3$.

Lúc đó $(AILD)=-1$, qua phép chiếu xuyên tâm $M$ ta có $(A_4IA_1A_2)=-1$, mà dễ thấy $\widehat{A_4AI}=90^{o}$ (Do $(BCDM)=-1$ và phân giác) nên $AI$ là phân giác $\widehat{A_3AA_2}$ hay $AA_2,AA_3$ đẳng giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$

Hay $\frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3C}}.\frac{\overline{A_2B}}{\overline{A_2C}}=\left(\frac{DA}{DB}\right)^2$

Tương tự và nhân lại, để ý $AA_3,BB_3,CC_3$ đồng quy, $AD,BE,CF$ đồng quy và Ceva ta có điều phải chứng minh

[Mashiro]

vmf.png

Nếu $EF\parallel BC$ thì tam giác $ABC$ cân, sử dụng $Thales$ và đồng dạng dễ dàng có được $AI$ là phân giác $\widehat{A_1AA_2}$.

Nếu $EF$ cắt $BC$ tại $M$, gọi $AD$ cắt $EF$ tại $L$. $A_1A_2$ cắt $AM$ tại $A_4$, $AP$ cắt $BC$ tại $A_3$.

Lúc đó $(AILD)=-1$, qua phép chiếu xuyên tâm $M$ ta có $(A_4IA_1A_2)=-1$, mà dễ thấy $\widehat{A_4AI}=90^{o}$ (Do $(BCDM)=-1$ và phân giác) nên $AI$ là phân giác $\widehat{A_3AA_2}$ hay $AA_2,AA_3$ đẳng giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$

Hay $\frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3C}}.\frac{\overline{A_2B}}{\overline{A_2C}}=\left(\frac{DA}{DB}\right)^2$

Tương tự và nhân lại, để ý $AA_3,BB_3,CC_3$ đồng quy, $AD,BE,CF$ đồng quy và Ceva ta có điều phải chứng minh

thanks bác nhiều mà dòng cuối là $\frac{\overline{A_3B}}{\overline{A_3C}}.\frac{\overline{A_2B}}{\overline{A_2C}}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2$ chứ nhỉ.

---------
Cũng như nhau thôi mà bạn
 

Edited by WhjteShadow, 21-01-2015 - 15:53.