Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. C/m Rằng: $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$
Chứng minh rằng: $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$
Bắt đầu bởi Duong Nhi, 19-01-2015 - 13:20
#2
Đã gửi 19-01-2015 - 15:50
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Trường hợp $a\geqslant b\geqslant c$
Xét hiệu: $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)-(a-c)^2(b-c)(a-b)=c\left[c\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+(a-c)^3+(b-c)^3+(a-c)^2(b-c)-2(a-c)(b-c)^2\right]\geqslant 0$
(Phân tích lằng nhằng thế chứ trong đó có nhiều chỗ xét hiệu khác để chia công việc)
Do đó ta cần chứng minh $(a-c)^2(b-c)(a-b)\geqslant 0$ luôn đúng.
Trường hợp $a\leqslant b\leqslant c$ thì tương tự.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 09-05-2021 - 11:34
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$
Khi đó $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)=a(b+c-a)(b-c)^2+b(a-b)(a-c)(a+b-c)\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
