Chủ đề này có 1 trả lời

[shinichikudo201]

Cho các số thực dương $a; b; c$ thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$

Tìm $max$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 21-01-2015 - 22:00

[shinichikudo201]

Cho các số thực dương $a; b; c$ thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$

Tìm $max$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$

Áp dụng các BĐT $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ và $xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ ta có:

$5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 15(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})= 10(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2007\leq \frac{10}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+2007$

$\Rightarrow \frac{5}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 2007\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \sqrt{\frac{6021}{5}}$

Mặt khác$\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}= \sqrt{(2a+b)^2+(a-b)^2}\geq \sqrt{(2a+b)^2}= a+a+b$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\leq \frac{1}{a+a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BĐT cùng chiều ta thu được:

$P\leq \frac{1}{9}(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})\leq \frac{1}{9}.3.\sqrt{\frac{6021}{5}}= \frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{\frac{45}{6021}}$

Vậy $maxP= \frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}$ đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{\frac{45}{6021}}$.