Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Du Duong]

Tìm x,y nguyên dương sao cho: $2 + 3^{x} = 5^{y}$

[lahantaithe99]

Tìm x,y nguyên dương sao cho: $2 + 3^{x} = 5^{y}$

 

+) Nếu $x=1$ thì $y=1$

 

+) Nếu $x\geq 2$ thì $5^y\equiv 2$ (mod 9) nên $y=6k+5$ ( $k\in\mathbb{N}$)

 

Khi đó $3^x=5^{6k+5}-2\equiv 23$ (mod 31) $(1)$

 

Mặt khác $3^x=5^y-2\equiv 3$ (mod 4) nên $x$ lẻ

 

Từ đó kết hợp với $(1)$ thì $x=30t+1,30t+3,.....,30t+29$ ( $t$ là số tự nhiên bất kỳ)

 

Khi đó $3^x\equiv 3,27,26,17,29,13,24,30,22,12,15,11,6\not\equiv 23$ (mod 31) nên trái với $(1)$

 

Vậy  $(x,y)=(1,1)$