Chủ đề này có 6 trả lời

[Glue]

Với $0< a,b,c< 1$. CMR:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}$

[babystudymaths]

 mình nghĩ BDT vẫn đúng khi a,b,c>1. Khi đó ta chuẩn hoá abc=1, đặt $a=x^{3}, b=y^{3}, c=z^{3}$

[dogsteven]

 mình nghĩ BDT vẫn đúng khi a,b,c>1. Khi đó ta chuẩn hoá abc=1, đặt $a=x^{3}, b=y^{3}, c=z^{3}$

Không thuần nhất thì chuẩn hóa bằng niềm tin à.

[anhxtanh pro]

đặt $a= x^{3} , b= y^{3} , c= z^{3}$

ta cần chứng minh : $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+x^{3}+z^{3}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$

ta có : $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\geq xy.2\sqrt{xy}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}\leq \frac{1}{2xy.\sqrt{xy}+1}$

cmtt : $\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}\leq \frac{1}{2yz\sqrt{yz}+1} , \frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{2xz\sqrt{xz}+1}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt{yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}$ (1)

áp dụng bài toán phụ : $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$ với x,y,z<1 ta có :

$\frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt {yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$ (2)

từ (1) và (2) ta có đpcm

[dogsteven]

đặt $a= x^{3} , b= y^{3} , c= z^{3}$

ta cần chứng minh : $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+x^{3}+z^{3}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$

ta có : $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\geq xy.2\sqrt{xy}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}\leq \frac{1}{2xy.\sqrt{xy}+1}$

cmtt : $\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}\leq \frac{1}{2yz\sqrt{yz}+1} , \frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{2xz\sqrt{xz}+1}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt{yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}$ (1)

áp dụng bài toán phụ : $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$ với x,y,z<1 ta có :

$\frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt {yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$ (2)

từ (1) và (2) ta có đpcm

Có chắc $2xy\sqrt{xy}<1$ không. Cho $x,y\to 1$ là thấy sai rồi.

[Nguyen Duc Phu]

đặt $a= x^{3} , b= y^{3} , c= z^{3}$

ta cần chứng minh : $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+x^{3}+z^{3}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$

ta có : $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\geq xy.2\sqrt{xy}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}\leq \frac{1}{2xy.\sqrt{xy}+1}$

cmtt : $\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}\leq \frac{1}{2yz\sqrt{yz}+1} , \frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{2xz\sqrt{xz}+1}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt{yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}$ (1)

áp dụng bài toán phụ : $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$ với x,y,z<1 ta có :

$\frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt {yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$ (2)

từ (1) và (2) ta có đpcm

Sao có cái này: $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$ với x,y,z<1?

[Chung Anh]

Sao có cái này: $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$ với x,y,z<1?

Từ cái này mà ra

Với x,y<1

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\leq \frac{2}{1+xy} $ (biến đổi tương đương là ra thôi)

Nếu x,y>1 thì dấu ngược lại