Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoang Long Le]

1. Cho $x,y,z>0$ . C/m: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(y+z)}}\leq 1$

2.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. C/m: $\sum \frac{b\sqrt{c}}{a(\sqrt{3c}+\sqrt{ab})}\geq \frac{3\sqrt3}{4}$

3. Cho $a,b,c>0$. C/m: $\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

 

[dogsteven]

Bài 3. Giả sử $a+b+c=3$. Khi đó ta cần chứng minh: $\sum \dfrac{(a+3)^2}{a^2-2a+3}\leqslant 24 \Leftrightarrow \sum \dfrac{2(2a-3)^2}{a^2-2a+3} \geqslant 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{2(2a-3)^2}{a^2-2a+3} \geqslant \dfrac{2(2a-3)^2}{a^2-2a+3}+\dfrac{2[2(b+c)-6]^2}{b^2+c^2-2(b+c)+6}$

Giả sử $(b-1)(c-1)\geqslant 0$ cho ta $b^2+c^2\leqslant 1+(b+c-1)^2$, thay vào được:

$\dfrac{2(2a-3)^2}{a^2-2a+3}+\dfrac{2[2(b+c)-6]^2}{b^2+c^2-2(b+c)+6} \geqslant \dfrac{2(2a-3)^2}{a^2-2a+3}+\dfrac{8a^2}{a^2-2a+5}$

Do đó ta cần chứng minh: $ \dfrac{2(2a-3)^2}{a^2-2a+3}+\dfrac{8a^2}{a^2-2a+5}\geqslant 3 \Leftrightarrow (a-1)^2(13a^2-18a+45)\geqslant 0$ luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $a=b=c$

Ngoài ra còn có thể dùng tiếp tuyến nhưng chả tự nhiên chút nào.

[davidsilva98]

1. Cho $x,y,z>0$ . C/m: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(y+z)}}\leq 1$

2.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. C/m: $\sum \frac{b\sqrt{c}}{a(\sqrt{3c}+\sqrt{ab})}\geq \frac{3\sqrt3}{4}$

3. Cho $a,b,c>0$. C/m: $\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

 

Bài 1. Hình như đề bài không đúng. Mình sửa lại thành chứng minh $$\sum \frac{x}{x+\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}\leq 1$$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $$\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}\geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}\rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$$ Tương tự ta có $$\sum \frac{y}{y+\sqrt{\left ( y+z \right )\left ( y+z \right )}}\leq \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$$$$\sum \frac{z}{z+\sqrt{\left ( z+x \right )\left ( z+y \right )}}\leq \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$$ Cộng các bđt lại ta suy ra đpcm. Vậy chứng minh hoàn tất

[hoctrocuaZel]

3/ Làm theo cách tiếp tuyến
Chuẩn hóa $a+b+c=3$.

Ta CM: $\sum \frac{(a+3)^2}{a^2-2a+3}\leq 24$.

Đúng vì: $\sum \frac{(a+3)^2}{a^2-2a+3}\leq \sum (4a+4)=24$

[issacband365]

Bạn nào làm được BĐT số 2 chưa, up lên cho tớ xem với