Chủ đề này có 13 trả lời

[nguyenphitrong3112000]

Bài 1

1, cho $(x+\sqrt{2013+x^{2}})(y+\sqrt{2013+y^{2}})=2013$ Tính giá trị biểu thức $A=x^{2013}+y^{2013}$

2, cho a,b,c>0 và a+c=2b Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$

Bài 2

1, giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+\frac{4xy}{x+y}=1 & \\ x-y+\sqrt{x+y}=1 & \end{matrix}\right.$

2, giải pt $3x^{3}-17x^{2}-8x+9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{7-x}=0$

Bài 3

1,cho n là số tự nhiên chẵn.chứng minh $B=20^{n}+16^{n}-3^{n}-1\vdots 323$

2, Tìm tất cả các số tự nhiên n và k để $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố

Bài 4

1, giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x\sqrt{y}+2y=x & \\ y^{2}-2y\sqrt{z}+2z=y & \\ z^{2}-2z\sqrt{x}+2x=z & \end{matrix}\right.$

2, giải pt $\sqrt{145-8x}=(-9x^{2}+48x+16)\sqrt{9-x^{2}}$

3, giải pt $\sqrt{4x-\sqrt{1-x}}+2\sqrt{x}=4$

4, giải hệ $\left\{\begin{matrix} x(1+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}=1 & \\ x(x+\frac{3}{y})+\frac{1}{y^{2}}=3 & \end{matrix}\right.$

Bài 5

1,cho $x=\sqrt{6}\sqrt{2+\sqrt{3}}(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}})$ Tính giá trị $P=(x^{3}-4x+1)^{2010}-(-x^{3}+4x-1)^{2009}$

2, tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện: không có số chính phương m nào sao cho n<m<2n

3, chứng minh rằng với n là số nguyên dương bất kỳ và $n\geq 10$ thì luôn có ít nhất 1 số nguyên dương k sao cho $n

Bài 6

1, cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một thỏa mãn $a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$ Chứng minh $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$

2, cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1.Chứng minh $\frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}\sqrt{c^{2}+1}}=1$

Bài 7

1, giải hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^{2}-3x}+\sqrt{x^{2}+8y}=5 & \\ x(x-3)+y(y+8)=13 & \end{matrix}\right.$

2, giải pt $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^{2}-4x-2$

Bài 8

Tìm tât cả các bộ 3 số nguyên không âm (x;y;z) thỏa mãn $2012^{x}+2013^{y}=2014^{z}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenphitrong3112000: 30-01-2015 - 21:20

[khunglongbaochua]

Bài 1

1, cho $(x+\sqrt{2013+x^{2}})(y+\sqrt{2013+y^{2}})=2013$ Tính giá trị biểu thức $A=x^{2013}+y^{2013}$

 

NX: $\sqrt{2013+x^{2}}-x\neq 0$ mà $(x+\sqrt{2013+x^{2}})(y+\sqrt{2013+y^{2}})=2013$

=> $(\sqrt{2013+x^{2}}-x)(\sqrt{2013+x^{2}}+x)(\sqrt{2013+y^{2}}+y)= 2013(\sqrt{2013+x^{2}}-x)$

=> $2013(y+\sqrt{2013+y^{2}})=2013(\sqrt{2013+x^{2}}-x)$

=> $y+\sqrt{2013+y^{2}}=\sqrt{2013+x^{2}}-x$ (1)

cmtt : $x+\sqrt{2013+x^{2}}=\sqrt{2013+y^{2}}-y$ (2)

cộng (1) và (2) => x=-y

=> $x^{2013}+y^{2013}=0$

[khunglongbaochua]

 

2, cho a,b,c>0 và a+c=2b Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$

 

ta có : $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}= \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$

<=> $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$

<=> $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$ ( vì a-b=b-c do a+c=2b )

<=> $(\sqrt{a}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{c})=b-c$

<=> a-c = b-c

<=> a=b , vô lý => sai đề

[Hoang Long Le]

Bài 6

1, cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một thỏa mãn $a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$ Chứng minh $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$

2, cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1.Chứng minh $\frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}\sqrt{c^{2}+1}}=1$

Bài 7

1, giải hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^{2}-3x}+\sqrt{x^{2}+8y}=5 & \\ x(x-3)+y(y+8)=13 & \end{matrix}\right.$

2, giải pt $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^{2}-4x-2$

Bài 8

Tìm tât cả các bộ 3 số nguyên không âm (x;y;z) thỏa mãn $2012^{x}+2013^{y}=2014^{z}$ 

Bài 6. 

1, $a^2-b=b^2-c\rightarrow (a-b)(a+b)=b-c\rightarrow (a-b)(a+b+1)=a-c\rightarrow a+b+1=\frac{a-c}{a-b}$

Tương tự: $b+c+1=\frac{b-a}{b-c};c+a+1=\frac{c-b}{c-a}$

Nhân lại có đpcm

2, $ab+bc+ca=1\rightarrow a=\frac{1-bc}{b+c}\rightarrow a^2=\frac{1-2bc+b^2c^2}{b^2+c^2+2bc}\rightarrow a^2+1=\frac{(b^2+1)(c^2+1)}{(b+c)^2}\rightarrow \frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}.\sqrt{c^{2}+1}}=1$

Bài 7. Sử dụng bất đẳng thức

Bài 8. Dùng tính chẵn lẽ

[Mary Huynh]

Bài 4

1, giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x\sqrt{y}+2y=x & \\ y^{2}-2y\sqrt{z}+2z=y & \\ z^{2}-2z\sqrt{x}+2x=z & \end{matrix}\right.$

 $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x\sqrt{y}+2y=x & \\ y^{2}-2y\sqrt{z}+2z=y & \\ z^{2}-2z\sqrt{x}+2x=z & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-\sqrt{y})^{2}=x-y \\ (y-\sqrt{z})^{2}=y-z \\ (z-\sqrt{x})^{2}=z-x \end{matrix}\right.$

Cộng 3 vế , ta được : $(x-\sqrt{y})^{2}+(y-\sqrt{z})^{2}+(z-\sqrt{x})^{2}=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\sqrt{y} \\ y=\sqrt{z} \\ z=\sqrt{x} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=\sqrt[8]{x}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq0 \\ x^{8}=x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow .....\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=0 \Rightarrow y=z=0 \\ x=1 \Rightarrow y=z=1 \end{bmatrix}$
Vậy hệ có nghiệm $(x, y,z)= (0;0;0) ; (1;1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mary Huynh: 31-01-2015 - 21:54

[Mary Huynh]

Bài 3

1,cho n là số tự nhiên chẵn.chứng minh $B=20^{n}+16^{n}-3^{n}-1\vdots 323$

  $B=(20^{n}-1 )+(16^{n}-3^{n} )$

Ta có : $20^{n} -1 \vdots (20-1)=19$
$16^{n}-3^{n} =16^{2k}-3^{2k}=(16^{k} -3^{k})(16^{k}+3^{k}) \vdots (16+3)=19$ 

$\Rightarrow B \vdots 19 $

Tương tự : $B= (20^{n} -3^{n}) +( 16^{n}-1) \vdots 17$

Mà $(17,19)=1$ $\Rightarrow B \vdots 17.19=323$

[phitruong3112000]

 

Bài 7. Sử dụng bất đẳng thức

Bài 8. Dùng tính chẵn lẽ

mình dùng bất đẳng thức thì ra vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2,rồi làm sao nữa bạn

[phitruong3112000]

 

 

Bài 8. Dùng tính chẵn lẽ

bài này theo mình dùng chẵn lẻ khi x,y,z>1 thôi chứ,trường hợp các số bằng 0 thì sao     

[Hoang Long Le]

mình dùng bất đẳng thức thì ra vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2,rồi làm sao nữa bạn

7.1 hay 7.2 bạn

 

bài này theo mình dùng chẵn lẻ khi x,y,z>1 thôi chứ,trường hợp các số bằng 0 thì sao     

Thì mình xét các th bằng 0 trước  

[phitruong3112000]

7.1 hay 7.2 bạn   7,1 bạn ạ

 

Thì mình xét các th bằng 0 trước   theo mình xét bằng 0 thì nhiều lắm

[Hoang Long Le]

 

7.1 hay 7.2 bạn   7,1 bạn ạ

 

Thì mình xét các th bằng 0 trước   theo mình xét bằng 0 thì nhiều lắm

 

Hì hì, mình nhầm bạn ạ, giải lại:

Đặt $(\sqrt{y^2-3x},\sqrt{x^2+8y})=(a,b)\rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5\\ a^2+b^2=13 \end{matrix}\right.$

Ta có thể dễ dang giải được hệ này bằng cách bình phương cái đầu lên rồi dung viet

[Mary Huynh]

Bài 4

3, giải pt $\sqrt{4x-\sqrt{1-x}}+2\sqrt{x}=4$

Điều kiện : $0\leqslant x \leqslant 1 \rightarrow 4-2\sqrt{x}\geqslant 0$

$PT \Leftrightarrow \sqrt{4x-\sqrt{1-x}}=4-2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow 4x-\sqrt{1-x}=16-16\sqrt{x}+4x$

$\sqrt{1-x}=16(1-\sqrt{x})$

$\Leftrightarrow 1-x=256 -512\sqrt{x}+256x$

$\Leftrightarrow 257 x-512\sqrt{x}+255=0$

.

.

.

$\Leftrightarrow x=1 (tmdk)$

 

P/S : Mấy câu hệ +Pt vô tỉ khó thế    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mary Huynh: 02-02-2015 - 22:47

[khunglongbaochua]

 

Bài 4

 

4, giải hệ $\left\{\begin{matrix} x(1+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}=1 & \\ x(x+\frac{3}{y})+\frac{1}{y^{2}}=3 & \end{matrix}\right.$

 

 

 hệ pt <=> $\left\{\begin{matrix} x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y} =1& \\ x^{2}+\frac{3x}{y}+\frac{1}{y^{2}}=3 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y} =1& \\ (x+\frac{1}{y})^{2}+\frac{x}{y}=3 & \end{matrix}\right.$

đặt $x+\frac{1}{y}=a , \frac{x}{y}=b$

giải hệ tìm ra a,b => tìm đc x,y

[Chung Anh]

 

3, giải pt $\sqrt{4x-\sqrt{1-x}}+2\sqrt{x}=4$

 

ĐK $ x \leq 1$

Ta có $\left\{\begin{matrix}\sqrt{4x-\sqrt{1-x}}\leq \sqrt{4x}\leq \sqrt{4.1}=2 &  & \\ 2\sqrt{x}\leq 2&  & \end{matrix}\right.\Rightarrow VT\leq 4 $

Dấu bằng xảy ra khi x=1

=>PT có nghiệm duy nhất x=1