Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

  Cho các số thực dương  $a,b,c> 0$ .CMR:

 

   $\frac{a^2(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+ac+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2(ab+bc+ac)}{a+b+c}$

 

 

 

 

[lahantaithe99]

  Cho các số thực dương  $a,b,c> 0$ .CMR:

 

   $\frac{a^2(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+ac+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2(ab+bc+ac)}{a+b+c}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với

 

$\sum \frac{a^2(b+c)(a+b+c)}{b^2+bc+c^2}\geqslant 2(ab+bc+ac)$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{a^2(ab+bc+ac)}{b^2+bc+c^2}\geqslant 2(ab+bc+ac)$

 

Dễ thấy  $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ac$ nên cần chứng minh

 

$\sum \frac{a^2(ab+bc+ac)}{b^2+bc+c^2}\geqslant ab+bc+ac\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}\geqslant 1$ $(*)$

 

BĐT $(*)$ luôn đúng khi áp dụng Cauchy Schwarz

 

$\sum \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{a^4}{a^2b^2+a^2bc+a^2c^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+abc(a+b+c)}\geqslant 1$

 

Vậy ta có đpcm