Chủ đề này có 2 trả lời

[minhhien2001]

tìm giá trị lớn nhất $\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$  x,y>0

[dogsteven]

Cách 1. Nếu $y=0$ thì biểu thức trên bằng $1$

Nếu $y\ne 0$ thì đặt $x=ty$. Khi đó biểu thức trên có dạng: $\dfrac{t^2+t+1}{t^2-t+1}=\dfrac{-2(t-1)^2}{t^2-t+1}+3\leqslant 3$

hoặc có thể phân tích trực tiếp $\dfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\dfrac{-4(x-y)^2}{x^2+y^2+(x-y)^2}+3\leqslant 3$

Cách 2. $\dfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=1+\dfrac{2xy}{(x-y)^2+xy}\leqslant 1+\dfrac{2xy}{xy}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 31-01-2015 - 19:18

[thanhducmath]

Ta có thể làm như sau:

 $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq 4xy$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2})\geq x^{2}+4xy+y^{2}$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}-xy+y^{2})\geq x^{2}+xy+y^{2}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-xy+y^{2}}\leq 3$

dấu bằng xảy ra khi x=y