Chủ đề này có 3 trả lời

[em yeu chi Chinh2013]

1/cho : ab+ac+bc=1 . chứng minh:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^2+1}}+\sqrt{\frac{1}{b^2+1}}+\sqrt{\frac{1}{c^2+1}}$

2/cho a+b+c=1 với a,b,c là số dương. chứng minh:

$\left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^3$ [CẦN GẤP !!!]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 01-02-2015 - 07:35

[hoctrocuaZel]

 

2/cho a+b+c=1 với a,b,c là số dương. chứng minh:

$\left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^3$ [CẦN GẤP !!!]

Using Holder inequality, we have:

$LHS\geq (\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}})^3$

On the other hand, we have: 

$t+\frac{1}{t}\geq \frac{10}{3}\Leftrightarrow (t-3)(t-\frac{1}{3})\geq 0$

It is true because $t=\sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3}$

[Lee LOng]

Áp dụng cô si 10 số có:

$\prod (a+\frac{1}{b})=\prod (a+\frac{1}{9b}+...+\frac{1}{9b})\geq 10^{3}.\sqrt[10]{\frac{abc}{9^{27}.(abc)^{9}}}\geq (\frac{10}{3})^{3}$

[KietLW9]

2/cho a+b+c=1 với a,b,c là số dương. chứng minh:

$\left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^3$ [CẦN GẤP !!!]

Ta có: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq abc+\frac{1}{abc}+10$

Ta cần chứng minh: $abc+\frac{1}{abc}\geq \frac{730}{27}$

$\Leftrightarrow \frac{(27abc-1)(abc-27)}{27abc}$ (Đúng do  $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$