Chủ đề này có 2 trả lời

[nghia_metal]

Cho $a,b,c$ là các số thực sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh $\sum_{cyclic}\frac{(a-b)(3a+b)}{a^2+b^2}\geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghia_metal: 01-02-2015 - 17:42

[nhungvienkimcuong]

Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0. Chứng minh $\sum_{cyclic}\frac{(a-b)(3a+b)}{a^2+b^2}\geqslant 0$

các số không âm chứ nhỉ

bđt cần chứng minh tương đương $\sum \frac{(a-b)^2+2(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\geq 2\sum \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}=2\prod \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

ta có $\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\geq 3\sqrt[3]{\prod \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}}$

do đó ta cần chứng minh $3\sqrt[3]{\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\geq 2\frac{(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

ta sử dụng bài toán sau để chứng minh bđt trên.Với $x>y\geq 0$

$3(x^2+y^2)\geq 2(a+b)^2(a^2-b^2)$

bđt trên luôn đúng do tương đương với $a^2(a-2b)^2+2a^2b^2+4ab^3+5b^4\geq 0$

vậy bài toán được chứng minh

Spoiler

bài toán trên là các làm của thầy Võ Quốc Bá Cẩn với 2 bài toán tương tự sau

cho $a,b,c\geq 0$ với không có hai số nào đồng thời bằng $0$.CMR

$1,$ $\frac{(a-b)(13a+5b)}{a^2+b^2}+\frac{(b-c)(13b+5c)}{b^2+c^2}+\frac{(c-a)(13c+5a)}{c^2+a^2}\geq 0$

$2,$ $\frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+2ab+3b^2}+\frac{(b-c)(3b-c)}{3b^2+2bc+3c^2}+\frac{(c-a)(3c-a)}{3c^2+2ca+3a^2}\geq 0$

 

U-th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 01-02-2015 - 17:58

[nghia_metal]

các số không âm chứ nhỉ

bđt cần chứng minh tương đương $\sum \frac{(a-b)^2+2(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\geq 2\sum \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}=2\prod \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

ta có $\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\geq 3\sqrt[3]{\prod \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}}$

do đó ta cần chứng minh $3\sqrt[3]{\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\geq 2\frac{(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

ta sử dụng bài toán sau để chứng minh bđt trên.Với $x>y\geq 0$

$3(x^2+y^2)\geq 2(a+b)^2(a^2-b^2)$

bđt trên luôn đúng do tương đương với $a^2(a^2-2b^2)^2+4ab^3+5b^4\geq 0$

vậy bài toán được chứng minh

Spoiler

bài toán trên là các làm của thầy Võ Quốc Bá Cẩn với 2 bài toán tương tự sau

cho $a,b,c\geq 0$ với không có hai số nào đồng thời bằng $0$.CMR

$1,$ $\frac{(a-b)(13a+5b)}{a^2+b^2}+\frac{(b-c)(13b+5c)}{b^2+c^2}+\frac{(c-a)(13c+5a)}{c^2+a^2}\geq 0$

$2,$ $\frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+2ab+3b^2}+\frac{(b-c)(3b-c)}{3b^2+2bc+3c^2}+\frac{(c-a)(3c-a)}{3c^2+2ca+3a^2}\geq 0$

 

U-th

Bđt này không cần a, b >=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghia_metal: 01-02-2015 - 18:01