Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Long Le]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $2^x=1+3^y.7^z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 03-02-2015 - 13:23

[Lee LOng]

Lập luận để x,y,z $\geq 0$

Đặt  $x=3k+r(k,r \epsilon N; r<3)$ 

Với  $z\neq 0 \Rightarrow 2^{x}-1\vdots 7 \Rightarrow 2^{r}(7+1)^{k}-1\vdots 7 \Rightarrow 2^{r}-1\vdots 7$ (Vô lý)

Với z=0  $\Rightarrow 2^{x}=1+3^{y}$

TH :y=0 $\Rightarrow x=1$, TH :$y\neq 0$

Đặt $x=2t+m(t,m\epsilon N;m<2$  $\Rightarrow (3+1)^{t}.2^{m}-1\vdots 3 \Rightarrow 2^{m}-1\vdots 3\Rightarrow m=0$

$\Rightarrow (2^{t}-1)(2^{t}+1)=3^{y}$

Đặt $2^{t}-1=3^{a}, 2^{t}+1=3^{b}$ $\Rightarrow x=2 và y=1$

TH r=0 để xem đã.... :V

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 03-02-2015 - 13:02

[lahantaithe99]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $2^x=1+3^y.7^z$

 

Với $y\in\mathbb{N^*}$ thì $3|2^x-1$ nên $\Rightarrow x=2t$ ($t\in \mathbb{N^*}$)

 

Khi đó $(2^t-1)(2^t+1)=3^y7^z$. Đặt $2^t-1=3^a7^b,2^t+1=3^c7^d$ ( $a,b,c,d\in\mathbb{N}$)

 

$2=3^c7^d-3^a7^b$ không chia hết cho $3$ và $7$ nên ta có $2$ trường hợp:

 

+) TH1: $c=0,b=0$ thì $2=7^d-3^a\equiv 1$ (mod 3) ( với $a,d$ nguyên dương) (vô lý)

 

+) TH2: $a=0$ dễ thấy $d=0$. Khi đó $2+7^b=3^c$ $(*)$

 

$(*)$ : Xét $c\geqslant 3$

 

Khi đó $7^b\equiv 25$ (mod 27) nên $b\equiv 4$ (mod 9). Khi đó $3^c=2+7^{9k+4}\equiv 35$ (mod 37)

 

Ta thấy nếu $c$ có dạng $6m+1,6m+3,6m+5$ thì $3^c-2$ không chia hết cho $7$ nên $c=2c_1$

 

Khi đó $9^{c_1}\equiv 35$ (mod 37). Xét modul $9$ cho $c_1$ ta thấy $9^{c_1}\not\equiv 35$ (mod 37) nên loại

 

Do đó $c=2$. Từ đó thu được $(x,y,z)=(6,2,1)$

[hoanglong2k]

Cách khác: 

Ta có $3^y.7^z+1\equiv 1(mod3)\rightarrow 2^x\equiv 1(mod3)\rightarrow x\vdots 2$

          $3^y.7^z+1\equiv 1(mod7)\rightarrow 2^x\equiv 1(mod7)\rightarrow x\vdots 3$

$\Rightarrow x\vdots 6\rightarrow x=6k(k\in \mathbb{N^*})\Rightarrow 3^y.7^z=64^k-1=63(64^{k-1}+64^{k-2}+...+64+1)$            $(1)$

Nếu $k=3n(n\in \mathbb{N^*})\rightarrow 3^y.7^z=64^{3n}-1\vdots 73$ ( vô lí vi $(3,7,73)=1$ )

Nếu $k=7n\rightarrow 3^y.7^z\vdots 64^7-1\vdots 2^7-1=127$ (vô lí vì $(3,7,127)=1$ )

Vậy $k\not \vdots 3$ và $k\not \vdots 7$ hay $k\not \vdots 21$

Lại có: $64\equiv 1(mod3)\rightarrow 64^{k-1}+64^{k-2}+...+64+1\equiv k(mod3)\rightarrow (64^{k-1}+64^{k-2}+...+64+1;21)=1$

            $\Rightarrow (64^{k-1}+64^{k-2}+...+64+1;3^y.7^z)=1$                                                                                                        $(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $64^{k-1}+64^{k-2}+...+64+1=1\Rightarrow 64^k-1=63\rightarrow k=1\rightarrow x=6$

                                Và $3^y.7^z=63=3^2.7$ là cách phân tích duy nhất

Vậy $(x,y,z)=(6,2,1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 04-02-2015 - 08:12