BẢNG A : THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Thời gian : 180 phút.
Câu 1 (4 điểm)
Cho họ đường cong $(C_m):y=x^3+3x^2+mx+1$ ( $m$ là tham số ).
a) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, $(C_m)$ luôn có hai điểm chung $A,B$ phân biệt với đồ thị $(C ):y=x^3+2x^2+7$.
b) Chứng minh khi $m$ thay đổi, trung điểm của đoạn $AB$ luôn thuộc một đường cong cố định.
Câu 2 (4 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$f(x)=x^2+\dfrac{9}{x}-10x+17lnx$$
b) Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh :
$$(a+b+c)^2+7(ab+bc+ca)\geq 10(a+b+c)$$
Câu 3 (3 điểm)
Cho các số dương $a,b,c,d$ thoả mãn :
$$\left\{\begin{matrix} a^2+d^2-ad=b^2+c^2+bc\\ a^2+b^2=c^2+d^2 \end{matrix}\right.$$
Tính giá trị biểu thức :
$$P=\dfrac{ab+cd}{ad+bc}$$
Câu 4 (3 điểm)
Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nhau. Một mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt các cạnh $OA,OB,OC$ theo thứ tự tại $A',B',C'$ thoả $\overline{OA.}\overline{OA'}=\overline{OB.}\overline{OB'}=\overline{OC.}\overline{OC'}$. Chứng minh trọng tâm tam giác $A'B'C'$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5 (3 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $BD$ là phân giác trong góc $ABC$. Đường tròn $(ABC)$ cắt $AD,CD$ tại $P,Q$ tương ứng. Một đường thẳng qua $D$ song song $AC$ cắt $BC,BA$ tại $R,S$ tương ứng. Chứng minh $P,Q,R,S$ đồng viên.
Câu 6 (3 điểm)
Xét $n$ điểm $P_1,P_2,...,P_n$ theo thứ tự trên một đường thẳng. Ta tô màu mỗi điểm bởi một trong năm màu là trắng, xanh, vàng, đỏ, nâu. Một cách tô màu có thể chấp nhận được nếu với mỗi hai điểm liên tiếp $P_i,P_{i+1}$ ($i=1,2,...,n-1$) hoặc là cả hai được tô cùng màu hoặc ít nhất một trong hai điểm được tô màu trắng. Tính số cách tô màu chấp nhận được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 06-02-2015 - 16:42