Chủ đề này có 2 trả lời

[Juliel]

BẢNG A : THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Thời gian : 180 phút.

 

Câu 1 (4 điểm)

Cho họ đường cong $(C_m):y=x^3+3x^2+mx+1$ ( $m$ là tham số ).

a) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, $(C_m)$ luôn có hai điểm chung $A,B$ phân biệt với đồ thị $(C ):y=x^3+2x^2+7$.

b) Chứng minh khi $m$ thay đổi, trung điểm của đoạn $AB$ luôn thuộc một đường cong cố định.

 

Câu 2 (4 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$f(x)=x^2+\dfrac{9}{x}-10x+17lnx$$

b) Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh :

$$(a+b+c)^2+7(ab+bc+ca)\geq 10(a+b+c)$$

 

Câu 3 (3 điểm)

Cho các số dương $a,b,c,d$ thoả mãn :

$$\left\{\begin{matrix} a^2+d^2-ad=b^2+c^2+bc\\ a^2+b^2=c^2+d^2 \end{matrix}\right.$$

Tính giá trị biểu thức :

$$P=\dfrac{ab+cd}{ad+bc}$$

 

Câu 4 (3 điểm) 

Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nhau. Một mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt các cạnh $OA,OB,OC$ theo thứ tự tại $A',B',C'$ thoả $\overline{OA.}\overline{OA'}=\overline{OB.}\overline{OB'}=\overline{OC.}\overline{OC'}$. Chứng minh trọng tâm tam giác $A'B'C'$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

 

Câu 5 (3 điểm)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $BD$ là phân giác trong góc $ABC$. Đường tròn $(ABC)$ cắt $AD,CD$ tại $P,Q$ tương ứng. Một đường thẳng qua $D$ song song $AC$ cắt $BC,BA$ tại $R,S$ tương ứng. Chứng minh $P,Q,R,S$ đồng viên.

 

Câu 6 (3 điểm)

Xét $n$ điểm $P_1,P_2,...,P_n$ theo thứ tự trên một đường thẳng. Ta tô màu mỗi điểm bởi một trong năm màu là trắng, xanh, vàng, đỏ, nâu. Một cách tô màu có thể chấp nhận được nếu với mỗi hai điểm liên tiếp $P_i,P_{i+1}$ ($i=1,2,...,n-1$) hoặc là cả hai được tô cùng màu hoặc ít nhất một trong hai điểm được tô màu trắng. Tính số cách tô màu chấp nhận được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 06-02-2015 - 16:42

[dogsteven]

Bài 2. b) Bất đẳng thức tương đương với $a^2+b^2+c^2+9\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\geqslant 10(a+b+c)$

Xét hàm số $f(x)=x^2-10x+\dfrac{9}{x}+17\ln x$ trên $(0,+\infty)$ có $f'(x)=2x-10+\dfrac{17}{x}-\dfrac{9}{x^2}=0\Leftrightarrow x=1$

Ngoài ra $f''(x)=\dfrac{2x^3-17x+18}{x^3}\Rightarrow f''(1)=3>0\Rightarrow f(x)\geqslant f(1)=0$

$\Rightarrow f(a)+f(b)+f( c )\geqslant 0 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+9\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\geqslant 10(a+b+c)+17\ln abc=10(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 06-02-2015 - 18:19

[ChiLanA0K48]

Câu 5 (3 điểm)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $BD$ là phân giác trong góc $ABC$. Đường tròn $(ABC)$ cắt $AD,CD$ tại $P,Q$ tương ứng. Một đường thẳng qua $D$ song song $AC$ cắt $BC,BA$ tại $R,S$ tương ứng. Chứng minh $P,Q,R,S$ đồng viên.

 

Bài giải

Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $AC$ không chứa $B$

Gọi $S'$ là giao điểm $BA,QM$

Gọi $R'$ là giao điểm $BC,PM$

Áp dụng định lý Pascal cho các điểm $A,B,C,Q,M,P$

suy ra $S',D,R'$ thẳng hàng

Do $\angle S'BD=\angle S'QD$ suy ra $S',B,Q,D$ thuộc cùng một đường tròn

Suy ra $\angle DS'Q=\angleDBQ$

Dọi $I$ là giao điểm $AP,QM$, $J$ là giao điểm $PM,QC$

Do $\angle IPM=\angle ABM=\angle JQM$ suy ra $P,Q,I,J$ cùng thuộc một đường tròn

Suy ra $\angle QPM=\angle QIM=\angle QBD=\angle QS'D$

Gọi $K$ Là giao điểm $AC,QM$

từ các điều trên sẽ chứng minh được $AC\parallel IJ\parallel S'R'$

suy ra $S,S'$ trung nhau, $R,R'$ trùng nhau

Từ đó có $Q,M,S$ thẳng hàng, $P,M,R$ thẳng hàng

Do $\angle RPQ=\angle RSQ$ suy ra $P,Q,R,S$ thuộc cùng một đường tròn