Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Duc Phu]

Cho các số thực x, y thỏa mãn $x\neq y$, $x\neq 0$, $y\neq 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{4}{xy}$

(Chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương)

[dogsteven]

Nếu $xy<0$ thì $VT>0>VP$

Nếu $xy>0$ thì chia cả hai vế cho $xy$:

$(BDT)\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2-2\geqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-3\right)^2}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2} \geqslant 0$ luôn đúng vì $xy>0$ và $x\ne y$ nên $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}> 2$

[Nguyen Duc Phu]

Nếu $xy<0$ thì $VT>0>VP$

Nếu $xy>0$ thì chia cả hai vế cho $xy$:

$(BDT)\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2-2\geqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-3\right)^2}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2} \geqslant 0$ luôn đúng vì $xy>0$ và $x\ne y$ nên $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}> 2$

Nếu chia cả 2 vế cho xy thì phải là $\frac{1}{x^2y}+\frac{1}{y^2x}$ chứ?

[dogsteven]

Nếu chia cả 2 vế cho xy thì phải là $\frac{1}{x^2y}+\frac{1}{y^2x}$ chứ?

Nhầm, nhân cả hay vế cho $xy$