Chủ đề này có 1 trả lời

[studentlovemath]

Tìm tất cả các bộ hai số chính phương (n;m), mỗi số có đúng 4 chữ số, biết rằng mỗi chữ số của m bằng chữ số tương ứng của n cộng thêm với d ( d là 1 số nguyên dương nào đó cho trước)

[Hahahahahahahaha]

đặt $n=\overline{pqrs}=x^{2}$, khi đó theo bài ra ta có:$m=\overline{(p+d)(q+d)(r+d)(s+d)}=y^{2}$

trong đó $x,y,p,q,r,s$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $1\leq p< p+d\leq 9;0\leq q< q+d\leq 9;0\leq r< r+d\leq 9;0\leq s< s+d\leq 9.$

ta có: $\left\{\begin{matrix}n=x^{2}=p.10^{3}+q.10^{2}+r.10+s &  & \\ m=y^{2}=(p+d).10^{3}+(q+d).10^{2}+(r+d).10+s+d &  &\end{matrix}\right.$

khi đó ta có: $(y+x)(y-x)=y^{2}-x^{2}=d.1111=d.11.101$

từ pt trên suy ra số nguyên tố $101$ là ước của $y-x$ hoặc $y+x$.

lại do $10^{3}\leq n< m< 10^{4}$ nên $32\leq x< y\leq 99$. Do đó ta được $64\leq x+y< 200$ và $0< y-x\leq 67$

suy ra $y+x=101;y-x=11.d$. Do đó $x,y$ khác tính chẵn lẻ và $d$ là số lẻ.

Do $64\leq 2x=101-11d$ nên $11d\leq 37$. Suy ra $d\leq3$ nên ta được $d=1$ hoặc $d=3$.

+) với $d=1$ thì $x+y=101;y-x=11$ suy ra $(x;y)=(45;56)$ và do đó $(n;m)=(2025;3136)$

+) với $d=3$ thì $x+y=101;y-x=33$ suy ra $(x;y)=(34;67)$ và do đó $(n;m)=(1156;4489)$

Vậy ta được hai bộ số $(n;m)=(2025;3136)$ và $(n;m)=(1156;4489)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 19-03-2024 - 22:29