Chủ đề này có 1 trả lời

[foollock holmes]

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O vẽ đk DE vuông góc với BC.Gọi  $D_{1}E_{1}$ và $D_{2}E_{2}$là hình chiếu vuông góc của DE trên AB và AC, Chứng minh $D_{1}E_{1}$=AC,$D_{2}E_{2}$=AB

[vkhoa]

Giả sử AB <=AC

DE vuông góc BC =>E là điểm chính giữa cung nhỏ BC

=>EB =EC (1)

có $\widehat{EBE_1} =\widehat{ECE_2}$ (ABEC nội tiếp) (2)

và $\widehat{EE_1B} =\widehat{EE_2C} =90^\circ$ (3)

từ (1, 2, 3) =>$\triangle EE_1B =\triangle EE_2C$ (góc nhọn, cạnh huyền)

=>$BE_1 =CE_2$ (4)

các tam giác vuông $DAD_1, DAD_2$ có AD chung

và có $\widehat{DAD_1} =\widehat{DCB} =\widehat{DBC} =\widehat{DAD_2}$

=>$\triangle DAD_1 =\triangle DAD_2$ (c huyền, g nhọn)

=>$AD_1 =AD_2$ (5)

hạ OH vuông góc AB tại H, có H trung điểm AB (6)

mà OH là đường trung bình của h thang $DD_1E_1E$

=>H là trung điểm $D_1E_1$ (7)

từ (6, 7) =>$AD_1 =BE_1$ (8)

từ (4, 5, 8) =>$BE_1 =CE_2 =AD_1 =AD_2$ (9)

trên cung AC không chứa B lấy điểm F sao cho $\widehat{FCA} =\widehat{DAC}$ (10)

<=>cung AF =cung CD 

<=>cung AD +cung DF =cung CF +cung FD

<=>cung AD =cung CF

<=>AD =CF (11)

mà $AD_2 =CE_2$ (từ (9)) (12)

từ (10, 11, 12) =>$\triangle ADD_2 =\triangle CFE_2$

=>$\widehat{FE_2C} =\widehat{DD_2A} =90^\circ$ và $FE_2 =DD_2$

=>$DFE_2D_2$ là hình chữ nhật và F, $E_2$, E thẳng hàng

=>$D_2E_2 =DF$ (13)

ta có $\widehat{ACB}$ chắn dây cung AB, $\widehat{DEF}$ chắn dây cung DF

và có $\widehat{ACB} =\widehat{DEF}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc và cùng nhọn)

=>AB =DF (14)

từ (13, 14) =>$D_2E_2 =AB$ (đpcm)

<=>$AC -AD_2 -CE_2 =AB$

<=>$AC =AB +AD_1 +BE_1$

<=>$AC =D_1E_1$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•