Chủ đề này có 3 trả lời

[potter nguyen]

Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+zx=3$

Tìm min của $\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}$

[hoanglong2k]

Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+zx=3$

Tìm min của $\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}$

Ta có: $\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}=\sum \frac{x^2}{\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}}\geq 2.\sum\frac{x^2}{x^2-x+6}\geq 2.\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+18}=\frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}=\frac{2t^2}{t^2-t+12}$

(với $t=x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}=3$)

Đây là bài toán 1 biến đơn giản, chắc bạn tự làm được

Bạn c/m : $\frac{2t^2}{t^2-t+12}\geq 1\Leftrightarrow (t-3)(t+4)\geq 0$ (đúng)

Vậy GTNN của $\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}$ là 1 khi $x=y=z=1$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 16-02-2015 - 00:51

[Nguyen Minh Hai]

Ta có: $\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}=\sum \frac{x^2}{\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}}\geq 2.\sum\frac{x^2}{x^2-x+6}\geq 2.\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+18}=\frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}=\frac{2t^2}{t^2-t+12}$ ( với $t=x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}=3$)

Đây là bài toán 1 biến đơn giản, chắc bạn tự làm được

t làm đến đây rồi nhưng tịt 

[Dinh Xuan Hung]

Để tớ làm tiếp cho $t\geq 3\Leftrightarrow t^2\geq 9\Rightarrow t^2+t\geq 12\Leftrightarrow 2t^2\geq t^2-t+12\Leftrightarrow \frac{2t^2}{t^2-t+12}\geq 1$

Đây là bài GTQT toán tuổi thơ số 141

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 16-02-2015 - 11:36