Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$
CMR $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$
Bắt đầu bởi Glue, 16-02-2015 - 15:24
#1
Đã gửi 16-02-2015 - 15:24
Glue
-
- Thành viên
-
- 11 Bài viết
Binh nhì
- hoanglong2k yêu thích
Kẻ thù của sự vĩ đại là tốt...
#2
Đã gửi 16-02-2015 - 16:35
hoctrocuaZel
-
- Thành viên
-
- 1162 Bài viết
Thượng úy
Cần CM: $\prod (a+b)\geq \prod (c+ab)$.
Mặt khác: $(c+ab)(ac+b)\leq \frac{1}{4}(a+1)^2(b+c)^2\rightarrow RHS\leq \prod \frac{1}{2}(a+1)(b+c)\rightarrow Ine\Leftrightarrow \frac{1}{8}\prod (a+1)\leq 1$.
Đúng theo $A-G$ 3 số. $\prod (a+1)\leq \frac{6^3}{27}=8$
đpcm 
- Hoang Tung 126, hoanglong2k và Glue thích
Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#3
Đã gửi 16-02-2015 - 16:43
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cách khác sử dụng pp tiếp tuyến:
Ta có: $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}=\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)(c+ab)}}\geq \frac{2(a+b)}{3+ab}\geq \frac{8(a+b)}{12+(a+b)^2}=\frac{8(3-c)}{12+(3-c)^2}$
Vậy nên cần c/m: $\sum \frac{3-c}{12+(3-c)^2}\geq \frac{3}{8}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{3-c}{12+(3-c)^2}\geq \frac{5-c}{32}\Leftrightarrow (9-c)(c-1)^2\geq 0$ ( luôn đúng vì $3>c>0$)
Nên $\sum \frac{3-c}{12+(3-c)^2}\geq \frac{15-3}{32}=\frac{3}{8}$
Vậy có đpcm
- hoctrocuaZel, Glue và Hoang Long Le thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
