Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Huy Hoang]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $ \sum{\frac{a^2}{(a+b)^2}} \geq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 16-02-2015 - 22:29

[KietLW9]

Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: $\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^2}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{1}{xy}$

Ta cần có: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{x^2y^2}{(xy+1)^2}\geqslant \frac{3}{4}$ (*)

Mà ta dễ chứng minh: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$ nên ta đưa bất đẳng thức (*) về dạng: $\frac{1}{1+xy}+\frac{x^2y^2}{(1+xy)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{(xy-1)^2}{4(xy+1)^2}\geqslant 0(true)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 10:47

[KietLW9]

Hoặc:

Đặt $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $xyz=1$ và ta cần chứng minh: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Đây là một bất đẳng thức quen thuộc!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 11:01