Chủ đề này có 3 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1 & & \\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m & & \end{matrix}\right.$

Các bạn giải theo cách lớp 9 nhé

[kudoshinichihv99]

 Đặt $\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=S(S\geqslant 0)$ và $\ \sqrt{xy}=P(P\geq 0)$

Sau đó biện luận mà tìm ra điều kiện

Chú ý để hệ có nghiệm đk cần là S²$\ \geq$4P

[Vito Khang Scaletta]

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1 & & \\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m & & \end{matrix}\right.$ (1)

(1) $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=1-3m \end{matrix}\right.$ (pt dưới nhận thấy $x\sqrt{x}=(\sqrt{x})^{3}$ và $y\sqrt{y}=(\sqrt{y})^{3}$)

Đặt $\left\{\begin{matrix} S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 0 \\ P=\sqrt{xy}\geq 0 \end{matrix}\right.$ với $S^{2}\geq 4P$, hệ phương trình trên trở thành: $\left\{\begin{matrix} S=1 \\ S^{3}-3PS=1-3m \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=1 \\ P=m \end{matrix}\right.$

Đến đây, theo điều kiện $S^{2}\geq 4P$ khi đặt $S$ và $P$, hệ phương trình có nghiệm khi $m\leq \frac{1}{4}$

Tiếp tục giải: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ \sqrt{xy}=m \end{matrix}\right.$ với $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình $X^{2}-X+m=0$ (theo định lý Viét đảo).

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ (giải bằng công thức nghiệm, tham số m).

Đến đây thì ta lại có phương trình có nghiệm khi $\left\{\begin{matrix} \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0;\forall m\in R \\ \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow m\geq 0$

 

Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm là $m\geq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vito Khang Scaletta: 17-02-2015 - 11:15

[yeudiendanlamlam]

(1) $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=1-3m \end{matrix}\right.$ (pt dưới nhận thấy $x\sqrt{x}=(\sqrt{x})^{3}$ và $y\sqrt{y}=(\sqrt{y})^{3}$)

Đặt $\left\{\begin{matrix} S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 0 \\ P=\sqrt{xy}\geq 0 \end{matrix}\right.$ với $S^{2}\geq 4P$, hệ phương trình trên trở thành: $\left\{\begin{matrix} S=1 \\ S^{3}-3PS=1-3m \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=1 \\ P=m \end{matrix}\right.$

Đến đây, theo điều kiện $S^{2}\geq 4P$ khi đặt $S$ và $P$, hệ phương trình có nghiệm khi $m\leq \frac{1}{4}$

Tiếp tục giải: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ \sqrt{xy}=m \end{matrix}\right.$ với $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình $X^{2}-X+m=0$ (theo định lý Viét đảo).

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ (giải bằng công thức nghiệm, tham số m).

Đến đây thì ta lại có phương trình có nghiệm khi $\left\{\begin{matrix} \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0;\forall m\in R \\ \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Cái trên là luôn đúng nên ta chỉ cần giải cái dưới ra được $m$, kết hợp với $m$ ở điều kiện $S^{2}\geq4P$ là sẽ ra điều kiện có nghiệm của hệ.

cám ơn bạn nhiều lắm