Chủ đề này có 1 trả lời

[pndpnd]

Cho $f(x)$ là hàm đồng biến trên $(0;+\propto )$ thỏa mãn $f(x_{1}.x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ vơi mọi $x$ thuộc $(0;+\propto )$ . chứng minh $f(x)=k.{log_{10}}^{x}$ với $k$ thuộc $N^*$

[Idie9xx]

Cho $f(x)$ là hàm đồng biến trên $(0;+\propto )$ thỏa mãn $f(x_{1}.x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ vơi mọi $x$ thuộc $(0;+\propto )$ . chứng minh $f(x)=k.{log_{10}}^{x}$ với $k$ thuộc $N^*$

Đặt $x=e^u$ thì $x_1=e^{u_1},x_2=e^{u_2}$ và $u_1,u_2\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f(e^{u_1+u_2})=f(e^{u_1}.e^{u_2})=f(e^{u_1})+f(e^{u_2})$

Đặt $g(u)=f(e^u)=f(x)$ ta được $g(u_1+u_2)=g(u_1)+g(u_2)$

Do $f$ đồng biến nên $g$ cũng đồng biến kết hợp với cộng tính ở trên $\Rightarrow g(u)=ku$

$\Rightarrow f(x)=ku=k.ln(x)$

Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=k.ln(x),\forall x\in (0,+\propto)$ với $k$ là hằng số thực.